高中常见分段函数题型归纳Word格式.docx
- 文档编号:15907615
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:21.90KB
高中常见分段函数题型归纳Word格式.docx
《高中常见分段函数题型归纳Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中常见分段函数题型归纳Word格式.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2.求分段函数的函数值
|x1|2,(|x|1)
fx
()1
(|x|1)
2f[f
(1)]
1x
例1.已知函数求.
1413
f[f()]f()
2232
113
f()|1|21()13
因为,所以.
2222
例2.已知函数,求f{f[f(a)]}(a<
0)的值.
分析:
求此函数值关键是由内到外逐一求值,即由a<
0,f(a)=2a,又0<
2a<
1,,
,所以,.
注:
求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.
x
e,x0.
g(x)
g(g())
lnx,x0.
练1.设则__________
x1
2e(x2),
f(x)
log
练2.设则__________
3
提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题
3.求分段函数的最值
4x3(x0)
f(x)x3(0x1)
x5(x1)
例1.求函数的最大值.
xfmax(x)f(0)30x1fmax(x)f
(1)4x1
当时,,当时,,当时,
xfmax(x)4
5154
综上有.
例2.设a为实数,函数f(x)=x
分析:
因为原函数可化为
2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.
所以,只要分别求出其最小值,再取两者较小者即可.
解:
a时,函数f(x)=x
2-x+a+1,
2+1.所以若,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a
若,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为,且;
当x≥a时,函数;
若,则函数f(x)在[a,+∞上)的最小值为,且.
若,则函数f(x)在[a,+∞上)的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当时,函数f(x)的最小值是;
2+1;
当时,函数f(x)的最小值是a
当时,函数f(x)的最小值是.
分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值,再进行大小比较,从而达到求解的目的.
4.求分段函数的解析式
yf(x)yg(x)yx
例1.在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将
提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题
ygxxy
()
的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成
的折线(如图所示),则函数的表达式为()
A.f(x)
2x2(1x0)
2(0x2)
B.f(x)
C.f(x)
2x2(1x2)
1(2x4)
D.f(x)
2x6(1x2)
3(2x4)
[2,0]y2x1xy
当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个
11
y2(x2)112x1f(x)2x2(x[1,0])x[0,1]
单位,得解析式为,所以,当时,
yxxy
21
将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式
y2(x2)112x4
f(x)x2(x[0,2])
所以,综上可得
故选A.
例2.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿售价与上市时
间的关系用图1的一条折线表示;
西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示:
(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系
式Q=g(t);
(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
(I)由图l可得市场售价与时间的关系为
由图2可得种植成本与时间的函数关系为
(0≤t≤30)0。
(II)设t时间的纯收益为h(t),由题意得
h(t)=f(t)-g(t)
再求h(t)的最大值即可。
观察图1,知f(t)应是一个关于t的一次分段函数,观察图2可知g(t)是关于t的二次函数,可设
为顶点式,即设g(t)=a(t-150)
+100。
5.作分段函数的图像
|ln||1|
yex
例1.函数的图像大致是()
y
x
O
B
O1
O1
CD
例2.已知函数f(x)=|x
2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点,求a的值.
∵f(x)=|(x-1)
2-4|=|(x+1)(x-3)|,
所以
由图象易知a=4.
此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像,再根据数形结合的方法求出,不用写出函数
解析式,更简单.
例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点,求a的值.
∵f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,
4
∴
解析式,更简单.
6.求分段函数得反函数
例1.求函数的反函数.
∵f(x)在R上是单调减函数,
∴f(x)在R上有反函数.
∵y=x2+1(x≤0)的反函数是(x≥1),
y=1-x(x>
0)的反函数是y=1-x(x<
1),
∴函数f(x)的反函数是
注:
求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.
yfxRx0()31
()fxf(x)
例2.已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为
yg(x)g(x)
求的表达式.
xx0f(x)31f(x)R
设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以
f(x)f(x)f(0)0f(x)13
且,所以,因此
31(x0)
log(x1)(x0)
f(x)0(x0)g(x)0(x0)
13(x0)
log(1x)(x0)
从而可得.
例3.已知
af(),
-log3(x+1)(x>
6)1x
f(x)f()f(x)
9
,若记为的反函数,且则
3x-6(x≤6)
f(a4)
__________.
7.判断分段函数的奇偶性
x(x1)(x0)
x(x1)(x0)
例1.判断函数的奇偶性.
22
x0x0fxxxxxfxx0
()()
(1)
(1)()
当时,,,当时,
5
f(0)f(0)0x0x0f(x)(x)(x1)x(x1)f(x)
当,,因此,对于任
xRf(x)f(x)f(x)
意都有,所以为偶函数.
分段函数奇偶性必须对x值分类,从而比较f(-x)与f(x)的关系,得出f(x)是否是奇偶函数结论.
8.判断分段函数的单调性
xx(x0)
x(x0)
例1.判断函数的单调性.
解一:
由于x∈R,所以对于设x1>
x2必须分成三类:
1.当x1>
x2>
0时,则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)(x1+x2)>
0;
2.当0>
x1>
x2时,则;
3.当x1>
0>
x2时,则
综上所述:
x∈R,且x1>
x2时,有f(x1)-f(x2)>
0。
所以函数f(x)是增函数.
分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.
f(x)x0fxxf(x)
解二:
显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当
x0
fxxf(x)f(x)R
'
()20
时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;
fxR
或画图易知在上是单调递增函数.
f(x)|12x||2x|
例2.写出函数的单调减区间.
13x1(x)
f(x)3x(x2)
3x1(x2)1
(,]
画图知单调减区间为.
9.解分段函数的方程
xx
2(,1]
f(x)
logxx(1,)
例1.设函数,则满足方程的的值为__________
81
1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中 常见 分段 函数 题型 归纳
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)