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=«
给出后,可以给出定义的几种变化形式:
«
;
以及
或«
而
,当«
时,«
,所以«
。
通过比较理解实
质。
另外,在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习,避免造成学生过重的学习负担。
教学过程
一.新课讲授
(一)问题提出
问题1气球膨胀率问题:
老师准备了两个气球,请两位同学出来吹,请观看同学谈谈看见的情景;
再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受,开始与结束感受是否有区别?
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是«
如果将半径r表示为体积V的函数,那么«
分析:
«
,
1当V从0增加到1时,气球半径增加了«
气球的平均膨胀率为«
2当V从1增加到2时,气球半径增加了«
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2高台跳水问题:
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在怎样的函数关系?
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
)如何计算运动员的平均速度?
并分别计算0≤t≤0.5,1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2.2,时间段里的平均速度.
思考计算:
和«
的平均速度«
在«
这段时间里,«
探究:
计算运动员在«
这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
⑴运动员在这段时间内是静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
探究过程:
如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,«
所以«
虽然运动员在«
这段时间里的平均速度为«
,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(1)让学生亲自计算和思考,展开讨论;
(2)老师慢慢引导学生说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上.
(3)得到结论是:
①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态.②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态;
(二)平均变化率概念:
引出函数平均变化率的概念.找出求函数平均变化率的步骤.
1.上述问题中的变化率可用式子«
表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2.若设«
«
(这里«
看作是对于x1的一个“增量”可用x1+«
代替x2,同样«
)
3.则平均变化率为«
观察函数f(x)的图象
平均变化率«
表示什么?
(1)师生一起讨论、分析,得出结果;
(2)计算平均变化率的步骤:
①求自变量的增量Δx=x2-x1;
②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1);
③求平均变化率«
.
注意:
①Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘;
②x2=x1+Δx;
③Δf=Δy=y2-y1;
二.典例分析
例1.已知函数f(x)=«
的图象上的一点«
及临近一点«
则«
.
解:
∴«
例2.求«
附近的平均变化率。
所以«
附近的平均变化率为«
三.课堂练习
1.质点运动规律为«
,则在时间«
中相应的平均速度为.
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
四.回顾总结
让学生进行课堂小结.
(1)随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,即随着气球体积的增大,比值气球膨胀率越来越小;
(2)平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态;
(3)函数的平均变化率的概念;
(4)求函数的平均变化率的步骤;
(5)课后思考问题:
需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态,那么该量应如何定义?
(6)思考问题方法:
从实际生活到数学语言,数学概念.
五.补充实例
例1 在经营某商品中,甲挣到10万元,乙挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?
变式:
在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?
例2 情境:
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
观察:
3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化,用曲线图表示为:
六.布置作业
①看书,复习今天内容;
②思考问题:
如何能更精细地刻画运动员的运动状态?
需要增加什么量?
③做书A1;
④预习下节内容.
七.教学反思
用1节课完成变化率的讲授。
导数确实是个很重要的工具,所以与导数概念教学有关的平均变化率问题讲授显得很重要.
板书设计
、
导数的几何意义
(1)使学生掌握函数«
处的导数«
的几何意义就是函数«
的图像在«
处的切线的斜率。
(数形结合),即:
=切线的斜率
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“以直代曲”的数学思想方法。
通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的学习能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的。
通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想,使学生了解近似与精确间的辨证关系;
通过有限来认识无限,体验数学中转化思想的意义和价值。
导数的几何意义及“数形结合,以直代曲”的思想方法。
发现、理解及应用导数的几何意义。
【教学过程】
(一)课题引入,类比探讨:
让学生回忆导数的概念及其本质。
(承上启下,自然过渡)。
师:
导数的本质是什么?
写出它的表达式。
(一位学生板书),其他学生在“学案”中写:
导数«
的本质是函数«
处的瞬时变化率,即:
«
(注记:
教师不能代替学生的思维活动,学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号,有利于学生思维能力的有效提高,为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础)
导数的本质仅是从代数(数)的角度来诠释导数,若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义(板书课题),应从哪儿入手呢?
(教师引导学生:
数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”,自然要结合“数”)
生1:
研究导数的代数表达式。
那必然就要回忆求导数«
的步骤了。
生(齐):
分三步:
第一步:
求«
第二步:
求平均变化率«
第三步:
当«
趋近于0时,平均变化率«
无限趋近于的常数就是«
(回归本质,数形结合)
教师进一步引导学生:
这是从“数”的角度来求导数,若从“形”的角度探索导数的几何意义,类比地,也可以分三个步骤:
的几何意义。
(并在学案的图(二次函数)中画出)
生:
与«
所对应的函数值的差量。
很好,那么第二步:
的几何意义是什么?
(同样请在函数图像中画出来);
由于上节探究中做过,所以还是比较简单。
生2:
Ski
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