中考数学真题分类训练专题20几何探究型问题.docx
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中考数学真题分类训练专题20几何探究型问题
2019年中考数学真题分类训练——专题二十:
几何探究型问题
1.(2019重庆A卷)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD于点M,AF⊥BC,垂足为F,BH⊥AE,垂足为H,交AF于点N,点P是AD上一点,连接CP.
(1)若DP=2AP=4,CP,CD=5,求△ACD的面积.
(2)若AE=BN,AN=CE,求证:
ADCM+2CE.
解:
(1)作CG⊥AD于G,如图1所示:
设PG=x,则DG=4-x,
在Rt△PGC中,GC2=CP2-PG2=17-x2,
在Rt△DGC中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,
∴17-x2=9+8x-x2,
解得:
x=1,即PG=1,
∴GC=4,
∵DP=2AP=4,
∴AD=6,
∴S△ACDAD×CG6×4=12.
(2)证明:
连接NE,如图2所示:
∵AH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM,
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°,
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC,
在△NBF和△EAF中,,
∴△NBF≌△EAF,
∴BF=AF,NF=EF,
∴∠ABC=45°,∠ENF=45°,FC=AF=BF,
∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF,
在△ANE和△ECM中,,
∴△ANE≌△ECM,
∴CM=NE,
又∵NFNEMC,
∴AFMC+EC,
∴ADMC+2EC.
2.(2019广州)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.
(1)当点F在AC上时,求证:
DF∥AB;
(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?
若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.
解:
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
由折叠可知:
DF=DC,且点F在AC上,
∴∠DFC=∠C=60°,
∴∠DFC=∠A,
∴DF∥AB.
(2)存在,
如图,过点D作DM⊥AB交AB于点M,
∵AB=BC=6,BD=4,
∴CD=2
∴DF=2,
∴点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,
∴当点F在DM上时,S△ABF最小,
∵BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°,
∴MD=2,
∴S△ABF的最小值6×(22)=66,
∴S最大值2×3(66)=-36.
(3)如图,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,
∵GD⊥EF,∠EFD=60°,
∴FG=1,DGFG,
∵BD2=BG2+DG2,
∴16=3+(BF+1)2,
∴BF1,
∴BG,
∵EH⊥BC,∠C=60°,
∴CH,EHHCEC,
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°,
∴△BGD∽△BHE,
∴,
∴,
∴EC1,
∴AE=AC-EC=7.
3.(2019安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:
△PAB∽△PBC;
(2)求证:
PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3.
证明:
(1)∵∠ACB=90°,AB=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,
又∠APB=135°,
∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB,
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC,
∴,
在Rt△ABC中,AB=AC,
∴,
∴,
∴PA=2PC.
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,
∴∠APC=90°,
∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,
∴,即,
∴h3=2h2,
∵△PAB∽△PBC,
∴,
∴,
∴.
即:
h12=h2·h3.
4.(2019深圳)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直径作圆,圆心为E,直线AC交⊙E于点D,连接OD.
(1)求证:
直线OD是⊙E的切线;
(2)点F为x轴上任意一动点,连接CF交⊙E于点G,连接BG.
①当tan∠ACF时,求所有F点的坐标__________(直接写出);
②求的最大值.
解:
(1)证明:
如图1,连接DE,∵BC为圆的直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠BDA=90°,
∵OA=OB,
∴OD=OB=OA,
∴∠OBD=∠ODB,
∵EB=ED,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB,
即∠EBO=∠EDO,
∵CB⊥x轴,
∴∠EBO=90°,
∴∠EDO=90°,
∵点D在⊙E上,
∴直线OD为⊙E的切线.
(2)①如图2,当F位于AB上时,过F作F1N⊥AC于N,
∵F1N⊥AC,
∴∠ANF1=∠ABC=90°,
∴△ANF∽△ABC,
∴,
∵AB=6,BC=8,
∴AC10,即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5,
∴设AN=3k,则NF1=4k,AF1=5k,
∴CN=CA-AN=10-3k,
∴tan∠ACF,解得:
k,
∴,
,即F1(,0).
如图3,当F位于BA的延长线上时,过F2作F2M⊥CA于M,
∵△AMF2∽△ABC,
∴设AM=3k,则MF2=4k,AF2=5k,
∴CM=CA+AM=10+3k,
∴tan∠ACF,
解得:
,
∴AF2=5k=2,
OF2=3+2=5,
即F2(5,0),
故答案为:
F1(,0),F2(5,0).
②方法1:
如图4,∵CB为直径,
∴∠CGB=∠CBF=90°,
∴△CBG∽△CFB,
∴,
∴BC2=CG·CF,
CF,
∵CG2+BG2=BC2,
∴BG2=BC2-CG2,
∴,
∴,
令y=CG2(64-CG2)=-CG4+64CG2=-[(CG2-32)2-322]=-(CG2-32)2+322,
∴当CG2=32时,,
此时CG=4,
.
方法2:
设∠BCG=α,则sinα,cosα,
∴sinαcosα,
∵(sinα-cosα)2≥0,即:
sin2α+cos2α≥2sinαcosα,
∵sin2α+cos2α=1,
∴sinαcosα,即,
∴的最大值.
5.(2019宁夏)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.
(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;
(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
解:
(1)∵MQ⊥BC,
∴∠MQB=90°,
∴∠MQB=∠CAB,又∠QBM=∠ABC,
∴△QBM∽△ABC.
(2)当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,
∵MN∥BQ,BQ=MN,
∴四边形BMNQ为平行四边形.
(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC5,
∵△QBM∽△ABC,
∴,即,
解得,QMx,BMx,
∵MN∥BC,
∴,即,
解得,MN=5x,
则四边形BMNQ的面积(5x+x)x(x)2,
∴当x时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为.
6.(2019江西)在图1,2,3中,已知ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.
(1)如图1,当点E与点B重合时,∠CEF=__________°;
(2)如图2,连接AF.
①填空:
∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”);
②求证:
点F在∠ABC的平分线上.
(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求的值.
解:
(1)∵四边形AEFG是菱形,
∴∠AEF=180°-∠EAG=60°,
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°,
故答案为:
60°.
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,
∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
∴∠FAE=60°,
∴∠FAD=∠EAB,
故答案为:
=.
②证明:
如图,作FM⊥BC于M,FN⊥BA交BA的延长线于N,
则∠FNB=∠FMB=90°,
∴∠NFM=60°,又∠AFE=60°,
∴∠AFN=∠EFM,
∵EF=EA,∠FAE=60°,
∴△AEF为等边三角形,
∴FA=FE,
在△AFN和△EFM中,,
∴△AFN≌△EFM(AAS)
∴FN=FM,又FM⊥BC,FN⊥BA,
∴点F在∠ABC的平分线上.
(3)如图,
∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
∴∠AGF=60°,
∴∠FGE=∠AGE=30°,
∵四边形AEGH为平行四边形,
∴GE∥AH,
∴∠GAH=∠AGE=30°,∠H=∠FGE=30°,
∴∠GAN=90°,又∠AGE=30°,
∴GN=2AN,
∵∠DAB=60°,∠H=30°,
∴∠ADH=30°,
∴AD=AH=GE,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD,
∴BC=GE,
∵四边形ABEH为平行四边形,∠HAE=∠EAB=30°,
∴平行四边形ABEN为菱形,
∴AB=AN=NE,
∴GE=3AB,
∴3.
7.(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:
△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,
①求证:
四边形AFEP是平行四边形;
②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ECQ=90°,
∵E是CD的中点,
∴DE=CE,
又∵∠DEP=∠CEQ,
∴△PDE≌△QCE.
(2)①证明:
∵PB=PQ,
∴∠PBQ=∠Q,
∵AD∥BC,
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,
∵△PDE≌△QCE,
∴PE=QE,
∵EF∥BQ,
∴PF=BF,
∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,
∴∠APF=∠PAF,
∴∠PAF=∠EPD,
∴PE∥AF,
∵EF∥BQ∥AD,
∴四边形AFEP是平行四边形;
②四边形AFEP不是菱形,理由如下:
设PD=x,则AP=1-x,
由
(1)可得△PDE≌△QCE,
∴CQ=PD=x,
∴BQ=BC+CQ=1+x,
∵点E、F分别是PQ、PB的中点,
∴EF是△PBQ的中位线,
∴EFBQ,
由①知AP=EF,即1-x,
解得x,
∴PD,AP,
在Rt△PDE中,DE,
∴PE,
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