行列式与矩阵秩Word格式.docx
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2.行列式展开定理
代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。
行列式展开定理已知n阶行列式D,则对第i行,1≤i≤n,有
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=D
而i≠j时ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0
鉴于逆向思维的困难,我有意把第一个公式的左右端对调。
从右向左,叫n阶行列式D按第i行展开。
(拉普拉斯展开定理的特殊情形。
)
从左向右,强调第i行与自己的代数余子式行向量作内积,恰是原行列式。
定理的后式表明,第i行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。
思考
(1)连续使用行列式展开定理,最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。
如果你能利用行列式的性质,(即把行列式的某行的k倍加到另一行,行列式的值不变。
)先将n阶行列式D化为上(下)三角行列式,则D的值等于上(下)三角行列式主对角线上元素的连乘积。
思考
(2)已知n阶行列式D,问,线性组合c1Ai1+c2Ai2+------+cnAin=?
与行列式展开定理公式对比,这个线性合相当于用系数行c1,c2,---,cn代替了(或说,具体化了)D的第i行。
逆向思维,它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式Di
例18已知四阶行列式D的第3行元数都是2,则A21+A22+A23+A24=0,为什么?
分析A21+A22+A23+A24等于将D的第2行元数全换为1而得到的新行列式。
显然,这个行列式的第2行与第3行成比例。
例19设A是个n阶方阵。
B是将A的第1行划去而得到的(n-1)×
n阶矩阵。
作齐次线性方程组Bx=0,你能用代数余子式概念,给出它的一个解吗?
分析仅仅划去方阵A的第1行,那就还保留着|A|的第1行元素的代数余子式信息。
第1行元素的代数余子式组成的向量,与其它各行都正交。
因而它就是方程组Bx=0的一个解向量。
例20设n阶行列式D的第1行是n个可导函数,其它行的元都实数。
则D是这n个可导函数的线性组合。
为什么?
你能用行列式表示这个线性组合的导数吗?
分析你能左右运用行列式展开定理,“展开”“回收”自由,这类题就只是个小游戏。
对D按第1行展开,每个代数余子式就是一个实数。
展开式就是那n个可导函数的线性组合。
线性组合的导数,是这n个函数的导数的线性组合。
系数还是第1行元素的代数余子式。
逆向思维,导数的线性组合就是行列式D的第1行各函数,分别换成其导数后得到的n阶行列式。
(潜台词:
自己写个三阶情形,好好想想。
(3)格莱姆法则_利用代数余子式,可以用消元法解有n个未知量n个方程的线性方程组Ax=b
如果D=|A|≠0,则方程组有唯一的解
x=(D1/D,------,Dn/D);
Dj是将D的第j列换为常数列b而得到的行列式。
格莱姆法则的证明过程,是运用代数余子式的“正交消元法”。
值得一看。
由此推得:
n个未知量n个方程的齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是|A|≠0
n个n维向量线性无关的充分必要条件是,它们排成的行列式不为0
思考(4)设如果A是n阶方阵,且|A|=0,则由行列式展开定理知,A的任一行元素的代数余子式,与A的每个行向量都正交。
即
A的任一行元素的代数余子式,都是齐次线性方程组Ax=0的解向量。
遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目,要首先看看(3)与思考(4)能否用上。
3.n阶方阵A的伴随阵A*
每个n阶方阵A相应有行列式|A|;
|A|有n×
n个代数余子式,它们按转置方式排成n阶方阵A*,称为A的伴随阵。
由A*的构造设计得到“基本恒等式”AA*=A*A=|A|E
基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。
即|A|≠0时,有
Ax=b—→A*Ax=A*b—→|A|x=A*b—→x=A*b∕|A|
考研试题围绕代数余子式与A*形成一个考点。
例21已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。
且a33=-1,|A|=1,若b=(0,0,1)ˊ,则
方程组Ax=b的解是
(A)(3,5,2)ˊ;
(B)(1,2,3)ˊ;
(C)(0,0,-1)ˊ;
(D)(1,0,-1)ˊ
分析由已知条件选第三列来展开|A|,得到方程a13·
a13+a23·
a23+a33·
a33=1
因为a33·
a33=1,所以a13=a23=0;
A的第三列为(0,0,-1)
Ax=b是3个未知量3个方程的方程组。
先用格莱姆法则试试求解。
已知|A|的第3列(0,0,-1)ˊ。
若把|A|的第1或第2列分别换成
b=(0,0,1)ˊ,就会有两列成比列,故D1=D2=0,应选(C)。
4.矩阵的秩
从应用角度考虑,行向量组的秩表示齐次线性方程组中相互独立的方程个数。
应该就是系数矩阵的秩。
从研究矩阵出发,则要兼顾行与列。
定义——矩阵A的不为零的子式的最高阶数r,称为矩阵A的秩。
记为r(A)
理解
(1)已知矩阵A的为秩r→A至少有一个r阶子式不为0→
→排成该子式的r个r维的行(或列)向量线性无关→
→“线性无关,延长无关”。
这些r维行(或列)向量所在的,矩阵A的r个行(或列)向量线性无关。
→它们是A的行(或列)向量组的一个最大无关组。
(等价性原理(不证)——矩阵的秩,即是它的行(或列)向量组的秩。
→齐次线性方程组Ax=0相应的r个方程相互独立。
—→一个方程可以解出一个未知量。
r个相互独立的方程只能解出r个未知量。
方程组的通解中必定含有n-r个独立未知量。
只能把它们取为n-r个独立常数。
这表明:
齐次线性方程组Ax=0解向量集的秩=n-r(A)
(*画外音:
我称这个公式为“核心恒等式”。
它贯穿全课程,年年必考。
如果系数矩阵的列向量组线性无关,即秩r=n,则齐次线性方程组只有唯一的零(零向量)解向量。
n-n=0,完全一至
理解
(2)已知矩阵A的秩为r→A的所有r+1阶子式全为0→
→如果要计算矩阵内的参数值,选取含有参数的r+1阶子式列方程。
理解(3)A是m×
n阶矩阵,则秩r(A)≤min(m,n);
(画外音:
可以称为,矩阵秩的第一个“不超过”,“自然不超过”。
若A是非零阵,则r(A)≥1
非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵,显然其秩为1
如果n阶方阵A的秩r(A)=n,就称A为满秩方阵。
或可逆的,非退化的;
非奇异的。
*例22A*是n阶方阵A的伴随阵。
试讨论
(1)若|A|≠0,r(A*)=?
(2)r(A)<n-1时r(A*)=?
分析
(1)若|A|≠0,由“基本恒等式”AA*=A*A=|A|E,即
AA*∕|A|=A*A∕|A|=E,A*满秩。
A*∕|A|与A互为逆阵。
(2)若r(A)<n-1,则A的所有n-1阶子式全为0;
从而|A|的代数余子式都为0,A*是零矩阵。
r(A*)=0
**(3)r(A)=n-1的情形是一个高级问题。
(“核心恒等式”用于讨论矩阵的秩。
若r(A)=n-1,则A至少有一个n-1阶子式不为0,A*是非零阵,r(A*)≥1
又,|A|=0,由行列式展开定理看出,A的任一行元素的代数余子式,即A*的任意一个列向量,与A的各个行向量都正交。
这表明它们都是方程组Ax=0的解。
于是
A*的列向量组可以被方程组Ax=0的基础解系线性表示。
r(A*)≤方程组Ax=0的解集的秩=n-r(A)=n-(n-1)=1夹逼得r(A*)=1
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- 行列式 矩阵