极限及导数练习题及答案Word文件下载.docx
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2?
xy?
y?
?
解:
4:
用极限定义证明:
lim
2
lg?
0,x?
0?
?
1,x?
n?
1
nn?
1111
1|成立,只要n?
取N=[],则当n>
N时,就有证明:
因为?
有|nn?
11n?
1|?
1|有定义变知lim?
1成立
nnn
5:
求下列数列的极限
n12?
22n2
limnlim
3n?
n3
n
nnn2n2n
n,又?
limn?
0,所以0?
0,故:
limn=0
3x?
333
12?
22n2n111
由于
n3n36nn111112?
22n21
又因为:
lim?
所以:
6n?
nn3n3
因为:
所以:
1?
n
11
,并且lim?
1,故由夹逼原理得
nn
6:
由于
7:
8:
9:
习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限
基本理论层次
习题1.2
3.求下列极限
n?
为无穷小量。
3.求下列函数的极限x3?
2xlim2;
x?
x?
1
3x?
lim解:
lim3?
0x?
2xx3x2?
x3?
2x?
lim2不存在。
limtan5x;
02x
原式=limsin5x1?
02xcos5x
5sin5x1?
limx?
025xx?
0cos5x
5?
limtanx?
sinxx?
0x
1?
1sinx解:
原式=lim?
0xx
sinx11?
cosx?
0xcosxx2
0xx?
0cosxx?
0x2
x2sin2
lim2x?
xsin21?
02x2
x2;
原式=limlimtanx?
0x?
x2?
01
limx
0;
2解:
原式=lim[)x?
0]?
e?
2
4?
lim?
xx?
1;
2x?
11?
原式=lim?
x5?
令t?
1,则x?
5t?
1;
时t5
10t?
3?
原式?
tt?
1lim?
10limt10?
tt?
31?
cosmx;
2sinmx2)mx2
2?
limmx?
02sinlim;
limx?
1x?
x3?
2xx?
x2x?
1x2?
2x2?
12?
0x2
不存在。
xlim?
3?
limx?
x1?
x23?
x2
1lim?
sinx?
xsin?
.x?
x
limsinx?
xsin1?
x2?
b?
5,求a、b..设limx?
由题意limx?
lim1?
12
a?
bx2?
5?
7
7,b?
6
sin3x,x?
5.若f?
ax在点x?
0处连续,求a的值.
1,
有题意limf?
fx?
即limsin3x3sin3x?
1x?
0aax3x
3sin3x?
0ax?
03x
1a
3
习题1.4
2.求曲线y?
1在点的切线方程,并作出函数的图像及其切线.解:
曲线y?
1在点的切线的斜率为
k?
|x?
切线方程为y=0
x,3.判断函数f?
x,
0在x?
0处是否连续?
是否可导?
f?
f解:
f且lim?
02
导数定义的利用
例若lim
f
12
k,则lim
等于
A.2kB.kC.kD.以上都不是
分析:
本题考查的是对导数定义的理解,根据导数定义直接求解即可解:
由于lim
2k,应选A
lim
求曲线方程的斜率和方程
例已知曲线y?
1x
上一点A,用斜率定义求:
5
点A的切线的斜率点A处的切线方程
求曲线在A处的斜率kA,即求lim解:
f?
xx
y
lim?
02?
13
024?
切线方程为y?
即3x?
4y?
52
34
说明:
上述求导方法也是用定义求运动物体S?
S在时刻t0处的瞬时速度的步骤.
判断分段函数的在段点处的导数
例已知函数f?
,判断f在x?
1处是否可导?
对分段函数在“分界点”处的导数问题,要根据定义来判断是否可导.
∴f在x?
1处不可导.
函数在某一点的导数,是指一个极限值,即lim
,当?
0;
包括?
0,判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.
利用导数定义的求解
例设函数f在点x0处可导,试求下列各极限的值.
1.lim2.lim
x2h
;
.
h?
3.若f?
2,则lim
2k12
A.-1B.-C.-1D.
在导数的定义中,增量?
x的形式是多种多样的,但不论?
x选择哪种形式,?
y也必须选择相对应的形式.利用函数f在点x0处可导的条件,可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式.
1.原式=lim
2h
2.原式=lim
ff?
h?
.
2,
3.?
lim∴lim
x0f
k
2k
1212
ff
1.故选A.
概念是分析解决问题的重要依据,只有熟练掌握概念的本质属性,把握其内涵与
外延,才能灵活地应用概念进行解题,不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系,盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因.解决这类问题的关键就是等价变形,使问题转化.
利用定义求导数
例1.求函数y?
x在x?
1处的导数;
2.求函数y?
b的导数.
根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法,确定函数y?
f在x?
x0
处的导数有两种方法,应用导数定义法和导函数的函数值法.
1.解法一:
xlim
1,
1,?
12.
解法二:
x
1x?
x,
∴y?
?
2.?
[?
b]?
22
x,
a,?
a.
求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是能够顺利求导的关键,因此必须深刻理解导数的概念.
证明函数的在一点处连续
例证明:
若函数f在点x0处可导,则函数f在点x0处连续.
从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略,要证明f在点x0处连续,必须证明limf?
f.由于函数f在点x0处可导,因此,根据函数在点x0处
可导的定义,逐步实现两个转化,一个是趋向的转化,另一个是形式的转化.
证法一:
设x?
x0?
x,则当x?
x0时,?
0,
limf?
limf
f?
f.
∴函数f在点x0处连续.
证法二:
∵函数f在点x0处可导,∴在点x0处有
lim[f?
f]?
xx?
∴limf?
f.∴函数f在点x0处连续.
对于同一个问题,可以从不
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