应用随机过程7布朗运动docxWord格式.docx
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如果cr=1,称之为标准布朗运动,如果CTHl,贝iJ{X(r)/cr,r>
0}为标准布朗运动。
不失一般性,只考虑标准布朗运动的情形。
性质7.1.1布朗运动{S(0,r>
0}具有如下性质:
(1).增量具有正态性。
即—~N(O,t,s<
t
(2).增量是独立的。
即与B(%)独立,KMu<
s<
(3)
•路径的连续性。
0是r的连续函数。
如果没有假定B(0)=0,即B(0)=x,称之为始于兀的布朗运动,记为歹⑴,显然Bx(t)-x=B\t)o
定义7.1.2设{X(f),f>
0}是随机过程,如果它的有限维分布时
1
空间平移不变的,即
F{X(GS],X©
)“2,…,X&
)5®
IX(0)=0}
=P{X(tJ<
Xj+x,X(^2)<
x2+兀,…,X(_)Wxn+x\X(0)=x}
则称此过程为空间齐次的。
布朗运动过程具有空间齐次性。
例7.1.1设0是标准布朗运动,计算P{B
(2)<
0},F{B⑴50#=0,1,2}。
7.2高斯过程
定义721
有限维分布均为多元正态分布的随机过程称为高斯过程。
<
_2_2、
22,2
&
0+b?
丿
引理7.2.1设X〜N(“],b]2),Y〜叫心)相互独立,则
X+Y〜N(角工)。
其中“=(“1,“1+“2),为二
定理721布朗运动过程是均值为m(Z)=0,协方差函数为厂($,t)=min(r,$)的高斯过程o
例721B⑴是布朗运动,求:
(1)5
(1)+5
(2)+5(3)+5(4)的
113
分布;
⑵B(-)+B(-)+B(-)+B(l)的分布;
⑶
424
ri2
P{JoB⑴dt>
不}。
定理7.3.1设B(t)是布朗运动,贝U
(1)B(f)是鞅;
(2)是鞅;
;
⑶对任何实数%,exp{w5(0“是鞅。
定义741
设X(0,/>
0是一个连续随机过程,如果对任何f,s>
0,有P{X(t+s)<
y\Ft}=尸{X(f+s)<
j|X(f)},a.s.
则称为Markov过程。
这里耳=cr{X(%),0<
u<
t}
定理741布朗运动过程是马尔科夫过程。
x>
0时P{TX<
t}=2P{B(t)>
x}=
从而P{Tr<
oo}=limP{7;
.<
0=l,但是ts
/•co2fCO
八细J
XJe~y^dydt
-7/z2x2
dt=—=
2xe
>
——=
4^71
2Q/2<
1
—dy=(x)0/
则7;
为几乎必然有限的,但是有无穷的期望。
直观地看,布朗运动以概率1击中兀,但它的平均时间是无穷的。
同样兀<
0=亠r/re~y2,2dy
故有
3工
-^=u111.u>
0,u<
记M⑴为布朗运动在[0“中达到的最大值,即M⑴二maxB(s),我
0<
5<
Z
们可以计算出当X>
O,有
记加⑴为布朗运动在[Of中达到的最小值,即m(f)=minB(5),我们
可以计算出当X>
0,有
P{m(t)<
-x}=P{T5t}二3—fe~yl^dy
Q2兀s
如果时间厂使得B(r)=0,则称£
为布朗运动的零点。
J0
_3
u2e111duo
定理7.5.1设为始于兀的布朗运动,则在(0,0
x
中至少有一个零点的概率为-r=
勺2兀
定理753设{By(t\t»
0}是布朗运动,贝I」
在(Q,b)中没有零点}=-arcsinE
7TVb
一、布朗桥
定义7.6.1设B(Z),Z>
0是一个布朗运动,令
⑴二盹)_出
(1),0<
^<
则称随机过程B*二0<
Z<
1}为布朗桥(BrownBridge)
布朗桥是咼斯过程。
且对任何OWsGWl,有
£
5*(0二0二5(1-0
由定乂可知,B(0)=B
(1)=0
1、有吸收值的布朗运动
设{3(0,40}是一个布朗运动,7;
为B⑴首次击中x的时刻,令
Z⑴二
X(t),t<
Tx
兀,t>
则{z(o/no}是击中%后,永远停留在那里的布朗运动,即带有吸收值%的布朗运动。
二在原点反射的布朗运动
设{B⑴八0}是一个布朗运动,令y(o=|b(o|^>
o则称{Y(t\t>
0}是在原点反射的布朗运动。
Y(t\t>
0的分布
四、几何布朗运动
设{B(t\t>
0}是一个布朗运动,令X(t)=严),宀0则称{X(t),^>
0}为几何布朗运动。
X(f)M>
0的均值函数和方差函数分别为EX(t)^et/2U"
(X^=e2t-el
例7.6.1(股票期权的价值)
设某人拥有某种股票的交割时刻为T,交割价格为K的欧式看涨期权,即他具有在时刻厂固定的价格K购买一股这种股票的权利。
假定这种股票目前的价格为y,并按几何布朗运动变化,计算拥有这个期权的平均价值。
五、有漂移的布朗运动
设>
0}是一个标准布朗运动,X(/)=B⑴+何,我们称{X(t),冷0}为有漂移的布朗运动。
常数“称为漂移系数。
利用有漂移的布朗运动X(t\t>
0可以算出
P{布朗运动在下降方之前上升砒=亠a+b
作业:
1.P1421,2,4
2.写本章小结
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