精品八年级数学上册 专题突破讲练 剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题 新版青岛版Word格式文档下载.docx
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三、关于等腰三角形的多解问题
角的多解
等腰三角形中至少有两个角是相等的,已知一角求另两个角时,多解。
如:
等腰三角形一个角为30度,求另两个角的度数。
边的多解
已知边求周长的问题,或求面积的问题时,多解。
等腰三角形两条边分别为3和5,求周长。
例题1在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:
已知一个角是60°
,则另两个角是唯一确定的(60°
,60°
),已知一个角是90°
,则另两个角也是唯一确定的(45°
,45°
),已知一个角是120°
,则另两个角也是唯一确定的(30°
,30°
)。
由此马彪同学得出结论:
在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也是唯一确定的。
马彪同学的结论是____________的。
(填“正确”或“错误”)
解析:
分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角,分两种情况考虑,利用三角形内角和是180度计算即可。
如已知一个角是70°
,当70°
为顶角时,另外两个角是底角,它们的度数是相等的,为(180°
-70°
)÷
2=55°
为底角时,另外一个底角也是70°
,顶角是180°
-140°
=40°
。
答案:
错误
点拨:
主要考查了等腰三角形的性质。
要注意分两种情况考虑,不要漏掉任何一种情况。
例题2如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°
,则∠DAO+∠DCO的大小是()
A.70°
B.110°
C.140°
D.150°
由已知及四边形内角和知∠DAB+∠DCB=220°
,由等腰三角形的性质知∠OAB+∠OCB=70°
,所以即可求得∠DAO+∠DCO的度数。
根据四边形的内角和定理可得:
∠DAB+∠DCB=220°
,
∵OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°
,∴∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC,∴∠OAB+∠OCB=70°
,∴∠DAO+∠DCO=220°
=150°
故选D。
D
利用四边形内角和的定理及等腰三角形的性质求解,解题时要将二者有机地结合在一起。
1.多点共存
用几何作图的方法寻找满足条件的多个点是基本找点方法,可以保证不重不漏。
但要注意是否符合题目要求,注意理解题目中所要求的点,进而有所取舍。
拓展如图,在直角坐标系中,O是原点,已知A(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点组成的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有个,写出其中一个点P的坐标是。
如图所示,满足条件的点P有8个,目前我们可求的分别为(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,
),(
,0)。
根据等腰三角形的性质,画图可知,点P有8个,可求的分别为(5,0),(8,0),(0,5),(0,6),(-5,0),(0,-5),(0,
故答案为:
8;
(5,0)(答案不唯一,写出8个中的一个即可)。
2.运动中形成等腰三角形
在点的运动中寻找满足条件的等腰三角形,应充分理解运动变化对于图形形状的影响,同时对动点运动时相关线段、图形大小的变化情况要清楚,这些对于今后学习函数中的运动问题非常有帮助。
拓展如图,∠AOB=60°
,C是BO延长线上的一点,OC=10cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=时,△POQ是等腰三角形。
根据等腰三角形的判定,分两种情况讨论:
(1)当点P在线段OC上时;
(2)当点P在CO的延长线上时。
分别列式计算即可求。
(1)当点P在线段OC上时,设t时后△POQ是等腰三角形,有OP=OC-CP=OQ,即10-2x=x,解得,x=
s;
(2)当点P在CO的延长线上时,此时经过CO时的时间已用了5s,有OQ=OP,即2(x-5)=x,解得,x=10s,故填
s或10s。
s或10s
(答题时间:
45分钟)
一、选择题
1.如图所示,△ABC中,∠ABC=50°
,∠ACB=80°
,延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E使CE=CA。
连接AD,AE,则∠DAE=()
A.100°
B.105°
C.115°
D.125°
2.等腰三角形ABC的周长为18cm,BC=8cm,若△ABC≌△A′B′C′,则△A′B′C′中一定有一条边等于()
A.7cmB.2cm或7cmC.5cmD.2cm或5cm
*3.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°
,则该三角形的一个底角为()
A.32.5°
B.57.5°
C.65°
或57.5°
D.32.5°
*4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为()
A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD
**5.如图,在△ABC中,D、E两点分别在AC、BC上,则AB=AC,CD=DE。
若∠A=40°
,∠ABD:
∠DBC=3:
4,则∠BDE=()
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
**6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°
,∠B=40°
,若将△ABC分割成两个等腰三角形,则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是()
、140°
或100°
、20°
B.100°
C.100°
D.140°
二、填空题
*7.如图,做如下操作:
在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D。
将△ABD做关于直线AD的轴对称变换,所得的像与△ACD重合。
对于下列结论:
①在同一个三角形中,等角对等边;
②在同一个三角形中,等边对等角;
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。
由上述操作可得出的正确结论是(将正确结论的序号都填上)。
**8.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是。
**9.如图,已知∠BAD=∠DAC=9°
,AD⊥AE,且AB+AC=BE。
则∠B=。
三、解答题
*10.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,过点D作DP⊥BC,分别交BA,CA或它们的延长线于点P,Q。
求证:
DP+DQ是定值。
**11.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°
,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°
,DE交线段AC于E。
(1)当∠BDA=115°
时,∠BAD=°
;
点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变(填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形。
**12.如图
(1),在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
(1)直接写出∠ABC的度数;
(2)如图
(2),BD是△ABC中∠ABC的平分线。
①找出图中所有等腰三角形(等腰三角形ABC除外),并选其中一个写出推理过程;
②在直线BC上是否存在点P,使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形?
如果存在,请在图(3)中画出满足条件的所有的点P,并直接写出相应的∠CPD的度数;
如果不存在,请说明理由。
**13.已知:
在锐角△ABC中,AB=AC。
D为底边BC上一点,E为线段AD上一点,且∠BED=∠BAC=2∠DEC,连接CE。
(1)求证:
∠ABE=∠DAC;
(2)若∠BAC=60°
,试判断BD与CD有怎样的数量关系,并证明你的结论;
(3)若∠BAC=α,那么
(2)中的结论是否还成立。
若成立,请加以证明;
若不成立,请说明理由。
1.C解析:
∵DB=BA,∠ABC=50°
,∴∠D=∠DAB=25°
,∵DB=BA,∠ACB=80°
,∴∠E=∠EAC=40°
,∴∠BAC=180°
-50°
-80°
=50°
,∴∠DAE=∠DAB+∠EAC+∠BAC=25°
+40°
+50°
=115°
故选C。
2.D解析:
(1)在等腰△ABC中,若BC=8cm为底边,根据三角形周长计算公式可得腰长
=5cm;
(2)在等腰△ABC中,若BC=8cm为腰,根据三角形周长计算公式可得底边长18-2×
8=2cm,∵△ABC≌△A′B′C′,∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等,即△A′B′C′中一定有一条边等于2cm或5cm。
3.D解析:
当高在三角形内部时底角是57.5°
,当高在三角形外部时底角是32.5°
,故选D。
4.C解析:
A.添加BD=CE,可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
B.添加AD=AE,根据等边对等角可得∠ADE=∠AED,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC,故本选项错误;
C.添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC,故本选项正确;
D.添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等,再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC,故本选项错误。
5.B解析:
∵AB=AC,CD=DE,∴∠C=∠DEC=∠ABC,∴AB∥DE,∵∠A=40°
,∴∠C=∠DEC=∠ABC=
=70°
,∵∠ABD:
4,∴设∠ABD为3x,∠DBC为4x,∴3x+4x=70°
,∴x=10°
,∵AB∥DE,∴∠BDE=∠ABD=30°
故选B。
6.A解析:
分两种情况:
①如图1,把120°
的角分为100°
和20°
,则△ABD与△ACD都是等腰三角形,其顶角的度数分别是100°
,140°
②如图2,把120°
的角分为40°
和80°
,20°
故选A。
7.②③解析:
操作过程中没有体现角相等,边就相等,故①不符合;
因为AB=AC,操作之后得到∠B与∠C重合,即等边对等角,故②符合;
根据所得的图像与△ACD重合,所以AD⊥BC,BD=CD,又AD平分∠BAC,所以③符合。
故操作可以得出的正确结论是②③。
8.12°
解析:
设∠A=x,∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x,∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x,∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x,…,∠P7P6P8=∠P8P9P7=7
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