江苏省扬州市届高三上学期期中测试数学试题.docx

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江苏省扬州市届高三上学期期中测试数学试题

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试

数学试题（Ⅰ）

2016．11

一：

填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.=。

2.复数的虚部为。

3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为。

4.不等式的解集为。

5.已知平行直线，则与之间的距离为。

6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为。

7.已知向量，则的充要条件是=。

8.已知，则=。

9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是。

10.已知圆，直线与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则面积的最大值为。

11.若，且，则使得取得最小值的实数=。

12.已知函数无零点，则实数的取值范围是。

13.双曲线的右焦点为F，直线与双曲线相交于A、B两点。

若，则双曲线的渐近线方程为。

14.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是。

二：

解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

已知函数。

（1）求函数的单调递增区间；

（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。

16.（本小题满分14分）

函数的定义域为A，函数。

（1）若时，的解集为B，求；

（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

17.（本小题满分14分）

已知圆。

（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；

（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。

18.（本小题满分16分）

如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。

在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人。

现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.

（1）求的大小；

（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。

19.（本小题满分16分）

已知椭圆C：

的右焦点为F，过点F的直线交轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作轴的垂线交椭圆C于另外一点Q。

若。

（1）设直线PF、QF的斜率分别为、，求证：

为定值；

（2）若且的面积为，求椭圆C的方程。

20.（本小题满分16分）

已知函数。

（1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值；

（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？

若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由；

（2）设>0，求证：

函数既有极大值，又有极小值。

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试

数学试题（Ⅱ）

21.（本小题满分10分）已知矩阵的一个特征值为4，求实数的值。

22.（本小题满分10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如下表：

班别

高一

（1）班

高一

（2）班

高一（3）班

人数

3

6

1

若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一

（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望。

23.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC。

（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；

（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值。

24.（本小题满分10分）已知集合。

若集合，则称为集合的一种拆分，所有拆分的个数记为。

（1）求的值；

（2）求关于的表达式。

江苏省扬州市2016-2017学年度高三第一学期期中测试

数学试题（Ⅰ）参考答案

2016．11

一、填空题

1．2．13．4．5．6．87．或18．9．10．2711．12．13．14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．解：

（1）

……4分

由得

所以的单调递增区间是……8分

（2）由

（1）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，……12分

即，所以．……14分

16．解：

（1）由，解得：

或，则，…2分

若，，由，解得：

，则…4分

所以；…6分

（2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以…10分

因为，当且仅当，即时取得等号

所以，解得：

．………14分

17．解：

（1）若，圆：

，圆心，半径为3．……2分

若切线斜率不存在，圆心到直线的距离为3，

所以直线为圆的一条切线；………4分

若切线斜率存在，设切线方程为：

，化简为：

，则圆心到直线的距离，解得：

．

所以切线方程为或；………7分

（2）圆的方程可化为，圆心，则

设圆的半径…………9分

因为为圆的任意一条直径，所以，且，则…12分

又因为，解得：

，所以圆的半径为．………14分

18．解：

（1）在中，…3分

所以………5分

（2）在中，由得：

所以，………9分

设水路运输的每百人每公里的费用为元，陆路运输的每百人每公里的费用为元，

则运输总费用

……11分

令，则，设，解得：

当时，单调减；当时，单调增

时，取最小值，同时也取得最小值．……14分

此时，满足，所以点落在之间

所以时，运输总成本最小．

答：

时，运输总成本最小．………16分

19．解：

（1）设且，，则，

所以，，因为，所以，即………3分

∴，∴，即为定值………6分

（2）若，则，所以，解得：

因为点、在椭圆上，则，

得：

，解得：

………10分

则，代入

（1）得：

，

因为且，解得：

，则……14分

所以椭圆方程为：

．………16分

20．解：

（1）∵∴,

∴函数在处的切线方程为：

，又直线过点

∴，解得：

………2分

（2）若，，

当时，恒成立，函数在上无极值；

当时，恒成立，函数在上无极值；

方法

（一）在上，若在处取得符合条件的极大值，则，5分

则，由（3）得：

，代入

（2）得：

，结合

（1）可解得：

，再由得：

，

设，则，当时，，即是增函数，

所以，

又，故当极大值为正数时，，从而不存在负整数满足条件．………8分

方法

（二）在时，令，则

∵∴∵为负整数∴∴

∴∴∴在上单调减

又，∴，使得…5分

且时，，即；时，，即；

∴在处取得极大值（*）

又∴代入（*）得：

∴不存在负整数满足条件．………8分

（3）设，则，

因为，所以，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；故至多两个零点．

又，，所以存在，使

再由在上单调递增知，

当时，，故，单调递减；

当时，，故，单调递增；

所以函数在处取得极小值．………12分

当时，，且，

所以，

函数是关于的二次函数，必存在负实数，使，又，

故在上存在，使，

再由在上单调递减知，

当时，，故，单调递增；

当时，，故，单调递减；

所以函数在处取得极大值．

综上，函数既有极大值，又有极小值．………16分

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数学试题（Ⅱ）参考答案

21．解：

解：

矩阵M的特征多项式为

………4分

矩阵的一个特征值为4………8分

所以4为方程的一个根，则，解得．………10分

22．解：

解：

随机变量的取值可能为0，1，2．

………3分

………6分

………9分

则

0

1

2

答：

数学期望为．…………10分

23．解：

（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、，………2分

从而

∴

即与所成角的余弦值为．………4分

（2）点在棱上，且，所以，于是，，又，．

设为平面的法向量，则

，可得，取，则………6分

设直线与平面所成的角为，则

………8分

令，则，所以

当，即时，有最小值，此时取得最大值为，即与平面所成的角最大，此时，即的值为．……10分

24．解：

（1）设，共有3种，即；………1分

设，若，则有1种；若，则有2种；

若，则有2种；若，则有4种；即；………2分

设，若，则，所以有种；

若，则或，

所以有；若，则有12种；

若，则或或或，

所以有种；即；………4分

（2）猜想，用数学归纳法证明．

当时，，结论成立；………5分

假设时，结论成立，即，

当时，

当时，，所以有种；

当时，，所以有种，

或，所以有种，共有种；

同理当时，共有种；

当时，，所以有种，

或，所以有种，或，

所以有种，或，所以有种，共有种；

则

所以，当时，结论成立；………9分

所以………………10分