届一轮复习理通用版 七解析几何 单元测试Word文档下载推荐.docx
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C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由a=2得两直线斜率满足(-2)×
=-1,即两直线垂直;
由两直线垂直得(-a)×
=-1,解得a=±
2.故选A.
3.已知双曲线-=1(a>
0,b>
0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
x
C.y=±
2xD.y=±
解析 由题意得,双曲线的离心率e==,故=,故双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x.
4.(2018·
邯郸摸底)已知F1,F2分别是双曲线C:
-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|=8,则=( )
A.4B.3C.2D.2
解析 由-=1知c2=a2+b2=16,所以|F1F2|=2c=8,由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2a=6,所以|PF2|=2或|PF2|=14(P在右支上,舍去),所以=4.
5.(2018·
福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在x轴上,对称中心为原点,离心率为.若点M在C上,且MF1⊥MF2,M到原点的距离为,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.x2-=1D.y2-=1
解析 显然OM为Rt△MF1F2的中线,则|OM|=
|F1F2|=c=.又e===,得a=1.进而b2=c2-a2=2.故C的方程为x2-=1,故选C.
6.设F1,F2是椭圆E:
+=1(a>
b>
0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°
的等腰三角形,则E的离心率为( )
A.B.C.D.
解析 令c=.如图,据题意,|F2P|=|F1F2|,∠F1PF2=30°
,∴∠F1F2P=120°
,
∴∠PF2x=60°
,∴|F2P|=2=3a-2c.
∵|F1F2|=2c,∴3a-2c=2c,
∴3a=4c,∴=,即椭圆的离心率为.故选C.
7.(2018·
大庆质检一)已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=-12x的准线交于A,B两点,|AB|=2,则C的实轴长为( )
A.B.2C.2D.4
答案 D
解析 因为抛物线y2=-12x的准线为x=3,而等轴双曲线C的焦点在x轴上,所以A,B两点关于x轴对称,且|AB|=2,所以点(3,±
)在双曲线上,代入双曲线的方程x2-y2=a2中得9-5=a2=4,所以a=2,即2a=4,故双曲线C的实轴长为4.故选D.
8.(2018·
乌鲁木齐一诊)已知抛物线y2=4x与圆F:
x2+y2-2x=0,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则下列关于|AB|·
|CD|的值的说法中,正确的是( )
A.等于1B.等于16
C.最小值为4D.最大值为4
解析 圆F的方程为(x-1)2+y2=1.设直线l的方程为x=my+1.代入y2=4x得y2-4my-4=0,y1y2=-4.设点A(x1,y1),D(x2,y2).则|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,所以|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2,所以|AB|·
|CD|=x1x2=(y1y2)2=1.故选A.
9.(2018·
沈阳质检一)已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0),O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若∠AFO=,则双曲线C的离心率为( )
A.2B.C.D.
解析 如图所示,在△AOF中,∠OAF=90°
,又∠AFO=30°
,所以∠AOF=60°
,故=tan60°
=,所以e==2,故选A.
10.(2019·
唐山模拟)已知F1,F2为双曲线Γ:
-=1(a>0)的左、右焦点,P为双曲线Γ左支上一点,直线PF1与双曲线Γ的一条渐近线平行,PF1⊥PF2,则a=( )
A.B.C.4D.5
解析 如图,记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M.与PF1平行的双曲线的渐近线为y=x,由PF1⊥PF2,得PF2⊥l,则F2(c,0)到直线l:
x-y=0的距离为d===2.而△OMF2为直角三角形,所以|OM|===a.又OM∥F1P,O是F1F2的中点,所以|F1P|=2|OM|=2a,|PF2|=2|MF2|=4.而由双曲线的定义,有|PF2|-|PF1|=2a,即4-2a=2a,所以a=.故选A.
11.(2018·
衡阳三模)已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆以外,且线段PF1与椭圆E交于点M.若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.-1D.
解析 过M作MH⊥x轴于点H,由|OM|=|MF1|,知H为OF1的中点,进而MH为△PF1O的中位线,则M为F1P的中点.从而依题意,有|F1P|=|OP|,即==sin∠OF1P,则∠OF1P=.则△MF1O是边长为c的等边三角形.连接MF2(F2为椭圆E的右焦点),则由OM=OF1=OF2可知∠F1MF2=.故e=====-1.故选C.
12.(2018·
合肥质检一)如图,已知椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为( )
A.20B.10C.2D.4
解析 解法一:
设点H(0,t),0<
t<
2,则由F1,H是线段MN的三等分点,可知点N(c,2t),M(-2c,-t).则有消去t2得15e2=3,则e2=.又b=2,则1-e2=,即1-=,解得a2=5,从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a=4,故选D.
解法二:
由F1,H是线段MN的三等分点,知H是线段F1N的中点,又O是F1F2的中点,则OH∥F2N,从而F2N⊥F1F2,故Nc,,H0,.又F1是线段MH的中点,则M-2c,-.由点M在椭圆上,可得+=1.又b2=4=a2-c2,从而有+=1,解得a2=5,从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a=4,故选D.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若k∈R,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是________.
答案 [-1,3]
解析 因为直线y=kx+1恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则02+12-2a·
0+a2-2a-4≤0且2a+4>
0,解得-1≤a≤3.
14.(2018·
浙江宁波质检)与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是________.
答案 y2=8x
解析 设动圆圆心为P(x,y),则=|x+1|+1,依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,故方程为y2=8x.
15.(2018·
贵阳模拟)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为60°
的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则p=________.
答案 1
解析 过点A作AM⊥x轴交x轴于点M,由∠AFM=60°
,|AF|=2得|FM|=1,且点A到抛物线的准线l:
x=-的距离为2,而|FM|=1,所以抛物线的焦点F到准线的距离为1,即p=1.
16.已知椭圆C:
+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.
答案 12
由椭圆方程知椭圆C的左焦点为
F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).
所以|AN|+|BN|=+
=2,
故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×
6=12.
根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1,F2为椭圆C的焦点,连接PF1,PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2018·
河南郑州检测)(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记
(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
解
(1)由题意,得=5,
即=5,
化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:
x=-2,
此时所截得的线段长度为2=8,
所以l:
x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,
圆心(1,1)到直线l的距离d=.
由题意,得2+42=52,解得k=.
所以直线l的方程为x-y+=0,
即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
18.(2018·
佛山质检一)(本小题满分12分)已知椭圆C1:
+=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:
y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为4.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(2)过点A(-2,0)的直线l与C2交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为M′,证明:
直线M′N恒过一定点.
解
(1)设椭圆C1的半焦距为c,依题意,可得a=,
则C2:
y2=4ax.
代入x=c,得y2=4ac,即y=±
2,
则有解得a=2,b=,c=1.
所以椭圆C1的方程为+=1,
抛物线C2的方程为y2=8x.
(2)证明:
依题意,可知直线l的斜率不为0,
可设l:
x=my-2.
联立消去x,整理得y2-8my+16=0.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则点M′(x1,-y1),
由Δ=(-8m)2-4×
16>0,解得m<-1或m>1.
且有y1+y2=8m,y1y2=16,m=,
所以直线M′N的斜率kM′N==
=.
可得直线M′N的方程为y-y2=(x-x2),
即y=x+y2-=x+=x-=·
(x-2).
所以当m<-1或m>1时,直线M′N恒过定点(2,0).
19.(2019·
深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l经过抛物线C:
x2=4y的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线分别与x轴交于点M,N.
(1)求证:
AM⊥MF;
(2)记△AFM和△BFN的面积分别为S1和S2,求S1·
S2的最小值.
解
(1)证明:
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
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