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值得注意的是,虽然在过去的二十多年里对它进行了深入细致的研究,但是我们仍然不知道它的答案。
以后我们将探究这个迷人的问题和它的一些分支。
迄今为止,复杂性理论的一个重要成果是,发现了一个按照计算难度给问题分类的完美体系。
它类似按照化学性质给元素分类的周期表。
运用这个体系,我们能够提出一种方法给出某些问题是难计算的证据,尽管还不能证明它们是难计算的。
当你面对一个看来很难计算的问题时,有几种选择。
首先,搞清楚问题困难的原因,你可能会做某些变动,使问题变的容易解决。
其次,你可能会求出问题的不那么完美的的解。
在某些情况下,寻找问题的近似解相对容易一些。
第三,有些问题仅仅在最坏的情况下是困难的,而在绝大多数的时候是容易的。
就应用而言,一个偶尔运行得很慢、而通常运行得很快的过程是能够令人满意的。
最后,你可以考虑其他类型的计算,如随机计算,它能够加速某些工作。
受到复杂性理论直接影响的一个应用领域是密码技术,这是一个古老的研究领域。
在绝大多数的情况下,容易计算的问题比难计算的问题更可取,因为求解容易的问题的代价要小。
密码技术与众不同,它特别需要难计算的问题,而不是容易计算的问题。
在不知道密钥或口令时,密码应该是很难破译的。
复杂性理论给密码研究人员指出了寻找计算问题的方向,围绕这些问题已经设计出新的革命性的编码。
可计算性理论
在21世纪前半叶,数学家们,如歌德尔(KurtGö
del)、图灵(AlanTuring)及丘奇(AlonzoChurch),发现一些基本问题是不能用计算机解决的。
确定一个数学命题是真是假就是一个例子。
这项工作是数学家的生计。
用计算机来解决似乎是天经地义的,因为这是数学王国里的事。
但是,没有计算机算法能够完成这项工作。
关于计算机理论模型思想的发展是这一意义深远的结论的成果之一,它最终促使建造出实际的计算机。
可计算理论与复杂性理论是密切相关的。
在复杂性理论中,目标是把问题分成容易的和困难的;
而在可计算理论中,是把问题分成可解的和不可解的。
可计算性理论介绍了若干复杂性理论中使用的概念。
下面简单介绍学习本书需要的一些基本知识。
1.1集合的概念与相关运算
集合是数学中最基本的概念。
既然是最基本的概念,它就不那么好定义,一般只是说明,正象数学中“点”一样。
最基本的东西就是大家都知道的东西。
要说明什么是集合,有多种描述方法:
“所要讨论的一类对象的整体”;
“具有同一性质单元的集体”等。
当我们讨论某一类对象的时候,就把这一类对象的整体称为集合。
而集合中的对象就称为该集合中的元素。
Cantor是这样描述集合的:
所谓集合,是指我们无意中或思想中将一些确定的,彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。
这些客体叫做该集合的元素。
设A是一个集合,a是集合A中的元素,今后将这一事实记以aA,读做a属于A;
若a不是集合A中的元素,则记以aA,读做a不属于A。
例如,这间教室里所有桌子的整体就做成一个桌子集合。
每个桌子都属于这个集合,每个椅子都不属于这个集合。
又如,世界上所有哺乳动物的整体做成一个哺乳动物集合。
每一条狗每一只猫都属于这个集合,而每一只鸡都不属于这个集合。
又如,平面上的所有点的整体做成平面点集;
所有连续函数的整体做成连续函数集,等等。
有限个元素a1,…,an做成的集合,称为有穷集(有限集),记以{a1,…,an};
无限个元素做成的集合,称为无穷集。
有穷集中元素的个数称为该集合的元素数,记为A。
特别,不含元素的集合称为空集,记以,一个元素a做成的集合,记以{a}。
定义1.1设A,B是两个集合。
属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的差集,记以A-B。
例如,令A={a,b,c,d},B={b,c,e,f},于是A-B={{a,d},B-A={e,f}。
定义1.2设A,B是两个集合。
所有属于A或者属于B的元素做成的集合,称为A和B的并集,记以AB。
例如,令A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},于是AB={a,b,c,d,e,f}。
我们可以把定义1.2推广到多个集合的并集。
定义1.3设A,B是两个集合。
由属于A又属于B的元素做成的集合,称为A和B的交集(intersectionset),记以AB。
例如,上面集合A和B的AB={b,d}。
同样,我们可以把定义1.3推广到多个集合的交集。
定义1.4设A,B是两个集合,所有序偶(x,y)做成的集合(其中xA,yB),称为A,B的直乘积(笛卡儿积),记以AB。
直乘积符号化表示为AB={(x,y)xA且yB}。
例如,令A是直角坐标系中x轴上的点集,B是y轴上的点集,于是AB就和平面点集一一对应。
由排列组合的基本常识不难证明,如果集合A的元数A=m,集合B的元数B=n,则
AB中有mn个元素。
1.2关系
1.2.1关系的基本概念及其性质
在日常生活中,象在数学中一样,关系的概念是一个基本概念。
例如,在人群中有朋友关系,父子关系,同学关系等等;
在数学中有相等关系,整除关系,大小关系等等。
不难看到,每一种关系都描述了在某一集合中两个元素之间的一种特征。
而这种特征也可以用一个集合描述出来。
定义1.5设A1,A2,,An是n个集合,集合A1A2An的一个子集F称为A1,A2,,An上的一个n元关系。
特别地,集合AB中的一个子集R,称为集合A与B上的一个二元关系,简称为关系。
对于xA,yB,若(x,y)R则称x,y有关系R,记为xRy;
若(x,y)R,则称x,y没有关系R,记为xR/y。
若B=A,则R称为A上的二元关系。
由关系的定义我们能够知道关系有下列特点:
(1)AA上的任一子集都是A上的一个关系。
(2)若A=n,则A上的关系有
个。
(3)A上的三个特殊关系,即空关系;
全域关系EA=AA;
相等关系IA={(x,x)xA}。
(4)
=AA-R。
(5)序偶(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c,b=d。
例1.1设A={a,b,c,d,e,f}为学生集合,B={,,,}为选修课程集合,C={2,3,4,5}为学习成绩集合,学生与课程之间存在着一种关系即“选修关系”;
学生、课程和成绩之间也存在着一种叫做“学习成绩关系”。
设用R表示选修关系,S表示学习成绩关系,那么R为A与B上的二元关系,S为A,B和C上的三元关系。
R={(a,),(a,),(b,),(b,),(c,),(c,),(e,),(f,)}
表示学生a选修课程,;
学生b选修课程,;
学生c选修课程,;
学生e选修课程;
学生f选修课程;
而学生d没有选修任何课程。
S={(a,,5),(a,,5),(b,,3),(c,,4),(f,,2)}
表示学生a所选的两门课程成绩都是5分;
学生b所选课程的成绩是3分;
学生c所选课程的成绩是4分;
学生f所选课程的成绩是2分。
既然关系是集合,因此有时用处理集合的方法处理关系是方便的。
因而有子关系,关系的并、交、差、余等运算。
如,R,S是集合A上的两个关系,若RS,则称R为S的子关系;
对任意x,yA,有
x(RS)y当且仅当xRy或者xSy
x(RS)y当且仅当xRy并且xSy
x(R-S)y当且仅当xRy并且xS/y
x
y当且仅当xR/y
当然,集合的并、交、差、余运算诸性质对关系运算也成立。
需要注意的是,作为关系时,余运算是对全域关系而言的,即AB作为全集E。
定义1.6设R是集合A上的一个关系。
令
R-1={(y,x)xA,yA,并且有xRy}
则称关系R-1为关系R的逆。
例如,小于关系的逆关系是大于关系,大于关系的逆关系是小于关系,相等关系的逆关系仍是相等关系。
定义1.7集合A上的关系R称为自反的(反身的),如果对每个xA,都有xRx。
定义1.8集合A上的关系R称为对称的,如果xRy,则yRx。
其中xA,yA。
定义1.9集合A上的关系R称为有反对称性,如果xRy,yRx,则必有x=y。
其中xA,yA。
定义1.10集合A上的关系R称为有传递性,如果xRy,yRz,则xRz。
其中xA,yA,zA。
例如,数之间的相等关系,具有自反性,对称性,传递性,反对称性。
小于关系和大于关系没有自反性,没有对称性,但是有反对称性和传递性。
父子关系既无自反性,也无对称性又无传递性,但是具有反对称性。
定义1.11集合A上的关系R称为反自反的,如果对任意的xA,xRx均不成立。
定义1.12 设R,S是集合A上的两个关系,令
RS={(x,y)xA,yA并且有一个zA使得xRz,zSy}。
称关系RS为关系R和S的乘积或合成。
例如,兄弟关系和父子关系的乘积是叔侄关系,而姐妹关系和母子关系的乘积是姨与外甥关系。
作为练习我们可以来证明关系的乘法满足结合律以及关系的乘法不满足交换律。
由于关系的乘法运算满足结合律,因此我们可以用“幂”表示集合上同一个关系的乘积,即
,规定R0=IA。
定理1.1设R是A上的关系,m,n为任意的自然数,那么
(1)RmRn=Rm+n;
(2)(Rm)n=Rmn。
证明:
(1)任给m,对n作归纳法。
n=0,则RmR0=RmIA=Rm=Rm+0。
假设RmRn=Rm+n,那么RmRn+1=Rm(RnR1)=(RmRn)R1=Rm+nR1=Rm+n+1=Rm+(n+1)。
使用同样方法或利用
(1)的结果可证明
(2),不赘述。
定理1.2设集合A的元数为n,R是A上二元关系,那么存在自然数i,j(0ij
)使得Ri=Rj。
由关系的特点我们知道,若A=n,则A上的关系有
个,因此,在R0,R1,R2,…,
这
+1个关系中,至少有两个是相同的(鸽巢原理),即有i,j(0ij
关于鸽巢原理请参阅组合数学相关内容。
定理1.3设R是集合A上的关系,若存在自然数i,j(ij),使得Ri=Rj,则有
(1)Ri+k=Rj+k,kN;
(2)Ri+kp+m=Ri+m,其中k,mN,p=j-i。
由定理1.1,
(1)显然成立。
(2)利用
(1)直接证明
(2),k=0,1时显然成立,考虑k2。
Ri+kp+m=Ri+j-i+(k-1)(j-i)+m=Rj+(k-1)(j-i)+m=Ri+(k-1)(j-i)+m(利用
(1))
=Ri+j-i+(k-2)(j-i)+m=Rj+(k-2)(j-i)+m=Ri+(k-2)(j-i)+m(利用
(1))
…
=Ri+
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