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(2)分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时,要先根据公式N/2确定中位数的位置,并确定中位数所在的组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值:
Me=L+
i=1
2
-Sm-1
Me表示中位数;
L表示中位数所在组的下限;
Sm-1表示中位数所在组以下各组的累计次数;
fm表示中位数所在组的次数;
d表示中位数所在组的组距
3.均值的计算【AVERAGE]
(1)
x=
x1+xx
未经分组均值的计算
未经分组数据均值的计算公式为:
(2)分组数据均值计算
k
fi
1
yx
分组数据均值的计算公式为:
一xifi+x2+2+Xkfk_仁i
x=k~
fi+f2+ill+fk實
i=4
4.几何平均数【GEOMEAN]
几何平均数是N个变量值乘积的
N次方根,计算公式为:
G表示几何平均数;
|丨表示连乘符号
5.调和平均数【HARMEAN]
调和平均数是对变量的倒数求平均,然后再取倒数而得到的平均数,与加权调和平均数两种计算形式。
它有简单调和平均数
简单调和平均数:
H=n
H=111
++•••+—
Xix2xn
n
口
idxi
加权调和平均数:
H=mi+m2+…+mn
=凹+匹+...+m
二mi
iT
Jm
6.极差【Range]
极差也称全距,是一组数据的最大值与最小值之差,即
R二ma冬-mxin
R表示极差;
maxg)和min(x.份别表示一组数据的最大值与最小值。
7.平均差【MeanDeviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。
(1)根据未分组资料的计算公式:
送x.-X
i
AD=^-
(2)根据分组资料的计算公式:
AD=
Zx.-xf.
AD表示平均差
8.方差【Variance]和标准差【StandardDeviation]
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。
要求掌握方差和标准差的计算方法。
未分组数据方差的计算公式为:
Jx-x2
i电
分组数据方差的计算公式为:
'
x._~x
i=1
方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为:
未分组数据:
分组数据:
二表示标准差。
9.离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的,因此,也称为标准差系数,它是一组数据的标准差与其相应的均值之比,是测度数据离散程度的相对指标。
其计算公式为:
v.-一=—
x
v;
「表示离散系数。
10.偏态【SKEW]
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。
利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。
显然,判别偏态的方向并不困难,但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。
EXCEL中偏态系数的计算公式为:
n£
円
(njn-2二.s一
WF£
日]
nTYn-2In-3)gisj
11.峰值【KURT]
EXCEL中峰值系数的计算公式为:
3(n-1)
n-1n-3
公式二
(1)样本均值的标准差
样本均值的标准差,即为样本均值的标准误差,又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度,反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为:
重复抽样方式:
不重复抽样方式:
;
「2N-n
\nN-1
通常情况下,当N很大时,(N-1)几乎等于N,样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为:
在公式中,二是总体标准差。
但实际计算时,所研究总体的标准差通常是未知的,在大样本的情况下,通常用样本标准差S代替。
(2)大样本均值的极限误差*二Z:
.2二x
(3)大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为
(1)的置信区间:
x一乙云x」—xz2二x
_CT_CT
即X-Z-.2xz,2
Un寸n
(4)总体方差未知,小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为(1-:
)的置信区间:
X—t:
边二x<
J<
xt/x
-J-xt:
.2
2.比例估计
(1)样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为:
重复抽样下:
“pfJ.PQ-P)
上式中,p应为总体比例,实际计算时通常用样本比例p代替
不重复抽样下:
口p)=j型—n
YnIN—1丿YnVNJ
(2)样本比例的抽样极限误差
p=Z仃P
(3)总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为(1-:
)的置信区间为:
P-Z-.2-P乞PPJ2p
3.总体均值检验
(1)单一总体均值检验
①正态总体(总体方差已知)或大样本均值检验
检验统计量Z为:
②正态总体(总体方差未知)小样本均值检验
检验统计量t为:
(2)两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验一一两个总体方差已知或大样本
Z检验统计量为:
大样本下对两个总体均值进行检验时,在总体标准差未知的情况下,可用样本标准差代替总体标准差进行计算,检验统计量不变。
②两个正态总体均值检验(小样本)一一两个总体方差未知但相等
T检验统计量为:
ni
其中:
Sp
22
□-1S“2-1S2
n「n2-2
n2
S2
x2
4.总体比例检验
(1)单一总体的比例检验
Z检验统计量:
P—Po
(2)两个总体比例的检验
检验的统计量为:
?
~?
01-?
.01-?
n1n2
其中:
-0P,0为当P1-P2时P1和P2的联合估计值。
5.
总体方差假设检验
F=s2.「s;
Si
i4
口-1
S2二
xi-x
-i
(1)单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为:
2=门一1S
%
n2
s(Xi-x)
s2=厘为匚2的估计量
n—1
(2)两个正态总体的方差假设检验
检验统计量为:
公式三
1•单因素方差分析
设总体共分为k种处理进行观察,第
种处理试验了容量为nj的样本
(1)计算各项离差平方和
误差项
在单因素方差分析中,需要计算的离差平方和有3个,它们分别是总离差平方和,离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和,用SST(SumofSquaresforTotal)代表:
njk
SST=EE(州
idjd
X表示全部样本观测值的总均值。
其计算公式为:
误差离差平方和,用SSE(SumofSquaresforErro)代表:
nj
Xj表示第j种水平的样本均值,
xj
Xij
i丄
水平项离差平方和。
为了后面叙述方便,可以把单因素方差分析中的因素称为A。
于是水
平项离差平方和可以用SSA(SumofSquaresforFactorA表示。
SSA的计算公式为:
SSA"
'
Xj-x
ij
(2)计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(MeanSquare)。
对SST来说,其自由度为(n-1);
对SSA来说,其自由度为(r-1),这里r表示水平的个数;
对SSE来说,其自由度为(n-r)。
与离差平方和一样,SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系:
n-1=(r-1)+(n-r)
对于
SSA,其平均平方
MSA(组间均方差)为:
MSA^^^A
r-1
SSE,其平均平方
MSE(组内均方差)为:
MSE泄
n—r
(3)
检验统计量F
MSAF二
MSE
2.两因素方差分析
设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平,共进行nk次试验。
在两因素方差分析中,需要计算的离差平方和有4个,它们分别是总离差平方和,误差项
离差平方和以及水平A、B项离差平方和。
总离差平方和,用SST(SumofSquaresforTotal代表:
SST八'
xi^x
1nk
x表示全部样本观察值的总均值,其计算公式为:
X二丄wXij
nki=ij=t
水平项离差平方和可以分别用SSA(SumofSquaresforFactorA)和SSB(SumofSquaresforFactorB)表示。
nk_2
SSA的计算公式为:
SSA:
二二,:
Xj-X
yj二
1n
XjXij
ny
nk
SSB的计算公式为:
SSB=vvXj.-X
i4j4
1k
XiXij
kj二
误差离差平方和,用SSE(SumofSquaresforErro)代表:
SSE:
二二-Xij
_2
-Xi*-Xjx
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(MeanSquare。
对SST来说,其自由度为
(nk-1);
对SSA来说,其自由度为(k-1),这里k表示水平A的个数;
对SSB来说,其自由度为(n-1),这里n表示水平B的个数;
对SSE来说,其自由度为(n-1)(k-1)。
这样,把各项离差平方和除以各自的自由度,即得到平均的离差平方和,简称为均方:
MSA
SSAk-1
MSB举
SSE
n-1
(3)检验统计量F
F(A)二
F(B)二
MSB
公式四
1.拟合优度的检验统计量:
=送
i£
fi表示类别i的观察频数;
fe表示假设H。
为真时,类别i的期望频数;
k表示类别总数注意:
当所有种类的期望频数均大于或等于5时,检验统计量服从自由度为(k-1)的2分布
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