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N-G=m可得:
1mv21(NG)R
R22
12
mgRWfmv0
由动能定理:
2
11
Wf(NG)RmgR(N3mg)R
22
3-5.一弹簧并不遵守胡克定律,其弹力与形变的关系为
F(52.8x38.4x2)i,其中F和x单位分别为N和m.
(1)计算当将弹簧由x10.522m拉伸至x21.34m过程中,外力所做之功;
(2)此弹力是否为保守力解:
1)由做功的定义可知:
2233
26.4(x2x1)12.6(x2x1)
x21.342
W2F?
dx(52.8x38.4x2)dx
x10.522
69.2J
(2)由计算结果可知,做功与起点和终点的位置有关,与其他因素无关,所以该弹力为保守力。
3-6.一质量为m的物体,在力F(atibt2j)的作用下,由静止开始运动,
求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
要求功率就必须知道力和速度的情况,由题意:
F1211213
vt(atibt2j)dt(at2ibt3j)mmm23
所以功率为:
2112131123125NF?
V(atibt2j)?
(at2ibt3j)(a2t3b2t5)
m23m23
3-7.一质点在三维力场中运动.已知力场的势能函数为
Epax2bxycz.
1)求作用力F;
2)当质点由原点运动到x3、y3、z3位置的过程中,试任选一路径,
计算上述力所做的功。
其中Ep的单位为J,x、y、z的单位为m,F的单位为N.
(1)由作用力和势能的关系:
EP(ax2bxycz)
FP(2axby)ibxjckrr
(2)取一个比较简单的积分路径:
rdxidyjdzk,则积分可得:
WF?
dr[(2axby)ibxjck]?
(dxidyjdzk)
=9a-9b-3c
3-8.轻弹簧AB的上端A固定,下端B悬挂质量为m的重物。
已知弹簧原长为l0,劲度系数为k,重物在O点达到平衡,此时弹
簧伸长了x0,如图所示。
取x轴向下为正,且坐标原点位于:
弹簧原长位置O;
力的平衡位置O。
若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点,试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。
(1)取弹簧原长位置O为重力势能和弹性势能的势能零点,则重物在任
一位置P(坐标设为x)时系统的总势能:
EPmgx1kx2
(2)取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点,则重物在任一
位置P(坐标设为x)时系统的总势能:
1
EPmgxk(x
x0)221kx0
而mgkx0
所以EPmgxk(xx0)2
1212kx0kx
P20
202
3-9.在密度为1的液面上方,悬挂一根长为l,密度为2的均匀棒AB,棒的B端刚和液面接触如图所示,今剪断细绳,设细棒只在浮力和重力作用下运动,在121的条件下,求细棒下落过程中
221
的最大速度vmax,以及细棒能进入液体的最大深度H。
分析可知,棒下落的最大速度是受合力为零的时候,所以:
2lsg1hsg,则h2l。
所以:
vm
进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时:
3-10.若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用,
设阻力与速度的大小成正比,比例系数k为常数,即fkv,试求质量为m的
卫星,开始在离地心r04R(R为地球半径)陨落到地面所需的时间。
在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出:
fdtkvdtmdv通过分离变量取积分,可
得:
tdtv1
mdvmlnv2mln2
kvkv1k
3-11.一链条放置在光滑桌面上,用手揿住一端,另一端有四分之一长度由桌边下垂,设链条长为L,质量为m,试问将链条全部拉上桌面要做多少功
直接考虑垂下的链条的质心位置变化,来求做功,则:
111WEP14mg18l312mgl
3-12.起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速
率v0匀速下降,当起重机突然刹车时,因物体仍有惯性
运动使钢丝绳有微小伸长。
设钢丝绳劲度系数为k,求
它伸长多少所受拉力多大(不计钢丝绳本身质量)解:
当起重机忽然刹车时,物体的动能将转换为钢1212
丝绳的弹性势能:
由1mv021kx2,可得:
22
m
kv0
分析物体的受力,可得到绳子的拉力为:
Tmgkxmgmkv0
3-13.在光滑水平面上,平放一轻弹簧,弹簧一端固定,另一端连一物体A、
A边上再放一物体B,它们质量分别为mA和mB,弹簧劲度系数为k,原长为
l.用力推B,使弹簧压缩x0,然后释放。
求:
(1)当A与B开始分离时,它们的位置和速度;
(2)分离之后.A还能往前移动多远
(1)当A和B开始分离时,两者具有相同的速度,根据能量守恒,可得
到:
2(mAmB)v2
kx0,所以:
v
mkmx0;
xmAmB
2)分离之后,A的动能又将逐渐的转化为弹性势能,所以:
地球的质量和半径)。
(1)若选取无穷远处势能为零,计算地面处的势能;
(2)若选取地面处势能为零,计算无穷远处的势能.比较两种情况下的势能差.
解:
(1)取无穷远处势能为零,计算地面处的势能为:
2)若选取地面处势能为零,计算无穷远处的势能为:
Gmem2drr2ra
两种情况下势能差是完全一样的。
3-15.试证明在离地球表面高度为hhRe处,质量为m的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.
由万有引力的势能函数值,在离地球表面高度为hhRe处,质量为
m的质点所具有的引力势能为:
如果以地面作为零电势处,则质点所具有的引力势能近似可表示为mgh.
思考题3
3-1.求证:
一对内力做功与参考系的选择无关。
证明:
对于系统里的两个质点而言,一对内力做功可表示为:
A=f1?
dr1f2?
dr2
由于外力的存在,质点的运动情况是不同的。
dr1dr2,f1f2
上式可写为:
A=f1?
dr2f?
(dr1dr2)
也就是内力的功与两个质点的相对位移有关,与参考系的选择无关。
A121
质点系的动能定理:
3-2.叙述质点和质点组动能变化定理,写出它们的表达式,指出定理的成立条件。
质点的动能变化定理:
物体受外力F作用下,从A运动B,其运动状态变化,
速度为V1变化到V2,即动能变化。
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
1212
drmv2mv1EK2EK1
22质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力
的功和质点系内非保守力的功三者之和。
即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。
公式表达:
A外A内非A内保EK2EK1
答:
根据功的定义:
W=F?
r
所以当它们受到的水平恒力F一样,位移s也一样时,两个功是相等的;
当时由于光滑的接触面摩擦力不做功,粗糙的接触面摩擦力做功,所以两个物体的总功不同,动能的增量就不相同。
3-4.按质点动能定理,下列式子:
x2
Fxdxx1x
mvx2mvx1
2221
y2
y2Fydy
y1
mvymvy
z2
Fzdz
z1
mvz2mvz1
是否成立这三式是否是质点动能定理的三个分量式试作分析。
不成立,因为功是标量,不分方向,没有必要这么写。
3-5.在劲度系数为k的弹簧下,如将质量为m的物体挂上慢慢放下,弹簧伸长多少如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少
如将质量为m的物体挂上慢慢放下,弹簧伸长为
mg=kx,所以x
mg
k
mgx1kx2,所以
如瞬间挂上让其自由下落,弹簧伸长应满足能量守恒:
x2mg
3-6.试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的
图[d]、[f]为非保守力,因为如果对其取环路积分必定不为零。
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