专题综合测试四Word文档下载推荐.docx
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4.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;
若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;
若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题.故选C.
5.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是( )
图4
A.2(π+)B.2π+
C.π+D.π+2
显然此几何体由两个一样的半圆锥沿底面拼接而成,圆锥的底面圆的半径为1,母线长为2,但这个对接圆面不是底面,底面正好是轴截面,所以该几何体的表面积为π×
1×
2+2×
×
2×
=2(π+).故选A.
6.(2012·
银川联考)在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为( )
A.B.C.D.
设AC∩BD=O,连接VO,由于四棱锥V-ABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为,选D.
D
7.在正方形ABCD中,沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则AB与平面BCD所成角的正弦值为( )
图5
设AC中点为O,连接BO,DO,则∠BOD是二面角B-AC-D的平面角,设正方形的边长为2,则BO=DO=,BD=2,则VB-ACD=×
=,设A到平面BCD的距离为d,则=×
22·
d,d=,设AB与平面BCD所成的角为θ,则sinθ==,故选A.(也可用空间向量来解)
8.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
图6
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
由题意知,BD⊥AB,BD⊥PA,又AB∩PA=A,∴BD⊥面PAB.∴BD⊥PB,面PBD⊥面PAB.故A,B均不对.又BC∥AD,∴BC∥面PAD,C也不正确.∵PA=2AB=AD,而PA⊥AD,∴∠PDA=45°
,即PD与平面ABC所成的角为45°
.
9.(2012·
山东威海一模)设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m
B.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
C.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α
D.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n
A项中,l∥β或l⊂β,m与l可能异面或相交,故A错,B项中,若m∥n,则无法得出l⊥α,故B错;
C项中,由l∥m及m∥n,可得l∥n,又l⊥α,所以n⊥α,故C正确;
D项中,m与n可能异面,故D错,故选C.
10.如图7,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°
的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,则二面角O1-BC-D的大小为( )
图7
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
如图,过O作OF⊥BC交BC于F,连接O1F,∵OO1⊥平面AC,∴BC⊥OO1,OF⊥BC,OO1∩OF=O,
图8
∴BC⊥平面O1OF,
又O1F⊂平面O1OF.
∴BC⊥O1F.
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角.
∵OB=2,∠OBF=60°
,
∴OF=.
在Rt△O1OF中,tan∠O1FO===,
∴∠O1FO=60°
,即二面角O1-BC-D的大小为60°
11.(2012·
北京海淀期末练习)在正四面体A-BCD中,棱长为4,M是BC的中点,点P在线段AM上运动(P不与A,M重合),过点P作直线l⊥平面ABC,l与平面BCD交于点Q,给出下列命题:
图9
①BC⊥平面AMD;
②Q点一定在直线DM上;
③VC-AMD=4.
其中正确的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
由BC⊥AM,BC⊥MD,可得BC⊥平面AMD,即①正确;
由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC,
则若过P作直线l⊥平面ABC,l与平面BCD交于点Q,Q点一定在直线DM上,即②正确;
由VC-AMD=VC-ABD=×
43=,即③不正确,综上可得,正确的命题序号为①②,故选A.
12.(2012·
东北三校一模)球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为( )
记球O的半径为R,作SD⊥AB于D,连接OD,OS,则有R==,SD⊥平面ABC,注意到SD==,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值等于×
=,因此高SD的最大值是=1,又棱锥S-ABC的体积等于S△ABC·
SD=×
22×
SD=SD,因此棱锥S-ABC的体积的最大值是×
1=,选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).
①三棱锥;
②四棱锥;
③三棱柱;
④四棱柱;
⑤圆锥;
⑥圆柱.
三棱锥、四棱锥和圆锥的正(主)视图都是三角形,当三棱柱的一个侧面平行于水平面,底面对着观察者时其正(主)视图是三角形,其余的正(主)视图均不是三角形.
①②③⑤
14.已知一正方体的棱长为m,表面积为n;
一球的半径为p,表面积为q,若=2,则=________.
∵n=6m2,q=4πp2,∴==.
15.(2012·
哈尔滨模拟)给出命题:
①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行;
②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m.则m⊥α;
③已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
④在三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;
⑤a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条平行.
其中,正确的命题是________(只填序号).
①错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;
③错误,“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件;
⑤错误,只有当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面;
易知②④正确.
②④
16.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是________(把你认为正确的结论序号都填上).
图10
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1与底面ABCD所成的角的正切值是;
④二面角C-B1D1-C1的正切值是;
⑤过点A1与异面直线AD和CB1成70°
角的直线有2条.
①由BD∥B1D1,且BD⊄平面CB1D1,且B1D1⊂平面CB1D1,得BD∥平面CB1D1,故①正确;
②易得:
AC1⊥平面CB1D1,故②正确;
③直线与底面所成角的正切值应为,故③错;
④取B1D1的中点E,连接CE与C1E,则易知∠CEC1即为二面角的平面角,易求得tan∠CEC1=,命题成立;
⑤由于两异面直线AD与CB1所成的角为,故过A1与两异面直线成70°
的直线共有4条,故⑤错.
①②④
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=90°
,P,Q分别为DE,AB的中点.
图11
(1)求证:
PQ∥平面ACD;
(2)求几何体B-ADE的体积.
解:
(1)取BC的中点M,连接PM,QM,
图12
易证PM∥DC,QM∥AC.
又PM∩QM=M,
∴平面PQM∥平面ACD.
又∵PQ⊂平面PQM,
∴PQ∥平面ACD.
(2)∵DC⊥平面ABC,
∴AC⊥DC,
又∵AC⊥BC,BC∩DC=C,
∴AC⊥平面BCDE,
∴VB-ADE=VA-BDE=S△BDE·
AC=.
18.(12分)如图,ABCD是正方形,ED⊥平面ABCD,EF∥BD,且EF=BD.
图13
BF∥平面ACE;
(2)求证:
平面AFC⊥平面EFC.
证明:
(1)记AC与BD的交点为O,
图14
则DO=BO=BD,连接EO,
∵EF∥BD且EF=BD,
∴EF綊BO,则四边形EFBO是平行四边形.
则BF∥EO,又EO⊂平面ACE,BF⊄平面ACE,
故BF∥平面ACE.
(2)连接FO,∵EF∥BD,且EF=BD,
∴EF綊DO,则四边形EFOD是平行四边形,∴ED∥FO.
∵ED⊥平面ABCD,∴FO⊥平面ABCD,
由BD⊂平面ABCD,得BD⊥FO,
又BD⊥AC,AC∩FO=O,
∴BD⊥平面AFC.∵EF∥BD,∴EF⊥平面AFC.
又∵EF⊂平面EFC,∴平面AFC⊥平面EFC.
19.(12分)(2012·
江苏无锡高三质检)如图15,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,G分别是AA1,D1C,AD的中点,求证:
图15
(1)MN∥平面ABCD;
(2)设α是过MN的任一平面,求证:
α⊥平面B1BG.
(1)证明:
取CD的中点E,连接NE,AE,
图16
⇒NE∥MA且NE=MA,
所以四边形MAEN为平行四边形.
所以MN∥AE.
⇒MN∥平面ABCD.
(2)在正方形ABCD中,易证△BAG≌△ADE,
所以∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°
所以AE⊥BG.
⇒B1B⊥AE.
⇒AE⊥平面B1BG.
又MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.
⇒α⊥平面B1BG.
20.(12分)
图17
如图17,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2.
(1)证明PA∥平面BDE;
(2)证明AC⊥平面PBD;
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.
(1)设AC∩BD=H,连接EH.
在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,
图18
所以H为AC的中点.
又由题设,E为PC的中点,
故EH∥PA.
又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE.
(2)证明:
因为PD⊥平面ABCD,
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