三角形中做辅助线的技巧文档格式.docx
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与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
如图1-2,AB//CD,BE平分/BCDCE平分/BCD点E在AD上,求证:
BC=AB+CD
已知:
如图1-4,在△ABC中,/C=2/B,AD平分/BAC求证:
AB-AC=CD
C的平分线也经过点P
(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.女口图2-1,已知AB>
AD,/BACKFAC,CD=BC
求证:
/ADC#B=180
例2.已知如图2-3,△ABC的角平分线BMCN相交于点P。
/BA
练习:
1.如图2-4/AOP=#BOP=15,PC//OA,PD丄OA
女口果PC=4,_则PD=()
A4B3C2D1
2.已知:
如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC
上的点,/FAE=ZDAE求证:
AF=AD+CF
3.已知:
如图2-7,在Rt△ABC中,/ACB=90,CD丄AB,垂足为D,AE平分/CAB交CD于F,过F
作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH
图2-7
(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)
(AB-AC)
1
例1.已知:
如图3-1,/BAD艺DACAB>
AC,CDLAD于D,H是BC中点。
DH=_
2
分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例2.已知:
如图3-2,AB=AC/BAC=90,AD为/ABC的平分线,CE±
BE.求证:
BD=2CE
给岀了角平分线给岀了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构
F
造岀等腰三角形。
例3.已知:
如图3-3在厶ABC中,ADAE分别/BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
AM=ME
由ADAE是/BAC内外角平分线,可得EA!
AF,从而有BF//AE,所以想到利用比例线段证相
等。
例3.已知:
如图3-4,在厶ABC中,AD平分/BACAD=ABCMLAD交AD延长线于M。
AM」
(AB+AC
题设中给出了角平分线AD自然想到以AD为轴作对称变换,作△ABD关于AD的对称△AED,
11
然后只需证DM=J_EC另外由求证的结果AM』(AB+AC,即2AM=AB+A,也可尝试作△ACM关于CM的对
22
称厶FCM然后只需证DF=CF即可。
练习:
1.已知:
在厶ABC中,AB=5,AC=3D是BC中点,AE是/BAC的平分线,且CE±
AE于E,连接DE
求DEo
2.已知BE、BF分别是△ABC的/ABC的内角与外角的平分线,AF丄BF于F,AE丄BE于E,连接EF
分别交ABAC于IMN,求证MN—BC
(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。
或通过一边上的
点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
例1如图,BC>
BABD平分/ABC且AD=CD求证:
/A+ZC=18Q
例2如图,AB//CDAEDE分别平分ZBAD各ZADE求证:
AD=AB+CD
1.已知,如图,ZC=2/A,AC=2BC求证:
△ABC是直角三角形。
如图,AB=2ACZ1=Z2,DA=DB求证:
DC丄AC
3.已知CE人。
是厶ABC的角平分线,ZB=60°
,求证:
AC=AE+CD
4.已知:
如图在厶ABC中,ZA=90°
,AB=ACBD是ZABC的平分线,求证:
BC=AB+AD
由线段和差想到的辅助线
口诀:
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
1、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;
2、补短:
将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不岀来,可连接两点或廷长某边构成三
角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:
有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:
例如:
如图3-1:
已知ABC的中线,且/仁/2,/3=/4,求证:
BE+CF>
EF
三、截长补短法作辅助线。
已知如图6-1:
在厶ABC中,AB>
AC/1=/2,P为AD上任一点
AB-AC>
PB-PC
例1.如图,AC平分/BADCE±
AB,且/B+ZD=180°
求证:
AE=AD+BE
例2如图,在四边形ABCD中,AC平分ZBADCE±
AB于E,AD+AB=2AE
ZADCZB=1800
例3已知:
如图,等腰三角形ABC中,AB=ACA=108°
BD平分ABC
BC=AB+D。
例4如图,已知Rt△ABC中,ZACB=90,AD是ZCAB的平分线,DMILAB于M,且AM=MB求证:
CD
=2dBo
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线
提示:
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH
例5:
已知CD=AB/BDA=/BADAE是厶ABD的中线,求证:
/C=ZBAE
倍长AE至F,连结DF
证明△ABE^AFDE(SAS
进而证明厶ADF^AADC(SAS
【融会贯通1段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
延长AE、DF交于G
证明AB=GCAF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图,AD为ABC的中线,DE平分BDA交AB于E,DF平分ADC交AC于F.求证:
BECFEF
在DA上截取DG=BD连结EGFG证明△BDE^AGDEADCF^ADGF所以BE=EG
CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2:
倍长ED至H,连结CHFH证明FH=EFCH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知:
如图,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交
BC于E,求证:
CT=BE.
过T作TN丄AB于N
证明△BTN^AECD
三、由中点想到的辅助线
在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。
(一)、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
例1.如图2,△ABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=ADDF是ADCE的中线。
已知AABC的面
积为2,求:
△CDF的面积
(二)、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CDE、F分别是BCAD的中点,BACD的延长线分别交EF的
(三)、由中线应想到延长中线
例3.图4,已知AABC中,AB=5,AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长
例4.如图5,已知AABC中,AD是/BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。
△ABC是等腰三角形
(四)、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC丄BC,AD丄BD,求证:
AC=BD
(五)、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,AABC是等腰直角三角形,/BAC=90,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂
直于BD,交BD的延长线于点E。
(六)中线延长
例一:
如图4-1:
ABC的中线,且/仁/2,23=/4,求证:
例二:
如图5-1:
ABC的中线,求证:
AB+AC>
2AD
A
E
图51
1如图,AB=6AC=8D为BC的中点,求AD的取值范围
3
4,已知△ABCAD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图5
-2,求证EF=2AD
图52
5.已知:
如图ABC的中线,AE=EF求证:
BF=AC
巩固练习
1、如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处•若CDE48°
,则APD等于()
A.42°
B•48°
C•52°
D•58°
2、如图所示,图中三角形的个数共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、如图,△ABC的周长为32,且ABAC,ADBC于D,△ACD的周长为24,那么AD的长为.
4、长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段,从中任取三条线段能组成三角形的概率是
5、如图,在△ABC中,ADLBC于D,且/ABC=2/C求证:
CD=A申BD
6、如图,在△ABC中,/BAC/BCA的平分线相交于点O过点0作DE//AC分别交ABBC于点DE试猜想线段ADCEDE的数量关系,并说明你的猜想理由•
7、AD为△ABC的中线,
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