单调减函数.docx
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单调减函数
1.若a>2,则函数f(x)=3x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有()
3
B.1个零点
C.2个零点
D.3个零点
答案B
解析Tf'(x)=x2-2ax,且a>2,「.当x€(0,2)时,f,(x)<0,即f(x)在(0,2)上是单调减函数.
11
又•••f(0)=1>0,f
(2)=节-4a<0,「.f(x)在(0,2)上恰好有1个零点.故选B.
3
2.函数y=x2ex的图像大致为()
答案A
x<—2或x>0时,y'>0,函数y=x2ex为
解析因为y'=2xex+x2ex=x(x+2)ex,所以当
增函数;当一2
1xn
3.函数f(x)=徑(sinx+cosx)在区间[0,三]上的值域为()
nn
11厅11壬
A.运,尹]B.(2,2e)
nn
22
C.[1,e]D.(1,e)
答案A
11n
解析f'(x)=^ex(sinx+cosx)+^ex(cosx—sinx)=excosx,当0wx<—时,f‘(x)>0.
口n
•••f(x)是[0,―]上的增函数.
n
n1—1
•f(x)的最大值为f(y)=2e2,f(x)的最小值为f(0)=2.
4.(2018•东陵县一中月考)已知函数f(x)=x2ex,当x€[—1,1]时,不等式f(x) 则实数m的取值范围为() 当0 (1)>f(—1),故f(x)max=f (1)=e,贝Um>e.故 选D. 5.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,且f(—4)=0,则不等式xf(x)>0 的解集为() 是R上的奇函数,所以函数g(x)在区间(0,+s)上是减函数.因为f(—4)=0,所以f(4)=0, 答案B 31 A.—2■—- 答案C 解析由f(x)=ex(x3+3*2-6x+2)—2aex—xw0,得a》2x3+糸2-3x+1—寸^. 13x 令g(x)=2x3+4X2—3x+1—扃,贝yg1(x)=|x2+|x—3+x—=(x—1)(|x+3+右). 当x€[—2,1)时,g'(x)<0,当x€(1,+^)时,g'(x)>0. 131 故g(x)在[—2,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数.故g(x)min=g (1)=+—3+1—= 242e 3131 —4—无,则实数a的最小值为—4—玉.故选c. 答案23 解析设正六棱柱的底面边长为 a,高为h,则可得 22 a2+-=9,即卩a2=9—-, 44 正六棱柱的 的值为 3h 体积V=(6X^a2)xh=|||x(9—-4)xh=|||x(——+9h).令y=——+9h,则y' +9,令y'=0,得h=23.易知当h=23时,正六棱柱的体积最大. 9.已知函数f(x)=ex—2x+a有零点,贝Va的取值范围是. 答案(一a,2ln2—2] 解析由原函数有零点,可将问题转化为方程ex—2x+a=0有解问题,即方程a=2x—ex 有解. 令函数g(x)=2x—ex,贝Ug'(x)=2—ex,令g'(x)=0,得x=In2,所以g(x)在(—a,ln2) 上是增函数,在(In2,+a)上是减函数,所以g(x)的最大值为g(ln2)=2ln2—2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a€(—a,2"2—2]. lnx 10.设I为曲线C: y=——在点(1,0)处的切线. x (1)求I的方程; ⑵证明: 除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方. 答案 (1)y=x—1 (2)略 解析 (1)设f(x)=l_nx,则f'(x)=12nx. xx 所以f' (1)=1.所以I的方程为y=x—1. ⑵令g(x)=x—1—f(x),则除切点之外,曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(? x>0,x丰1).x? —1+lnx g(x)满足g (1)=0,且g'(x)=1—f'(x)==. 当0 当x>1时,x2—1>0,Inx>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以g(x)>g(i)=0(? x>0,xm1). 所以除切点之外,曲线C在直线I的下方. 22 11.已知函数f(x)=x2—8lnx,g(x)=—x2+14x. (1)求函数f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; ⑵若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围; ⑶若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值. 答案 (1)y=—6x+7 (2)[2,6](3)m=—16In2—24 解析⑴因为f'(x)=2x—8,所以切线的斜率k=f' (1)=—6. x 又f (1)=1,故所求的切线方程为y—1=—6(x—1).即y=—6x+7. 2(x+2)(x—2) ⑵因为f'(x)=严
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