全国版版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案0509299.docx
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全国版版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案0509299
第2讲 数系的扩充与复数的引入
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 复数的有关概念
1.复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0,b≠0,则a+bi为纯虚数.
2.复数相等
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
3.共轭复数
a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).
4.复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).
考点2 复数的几何意义
考点3 复数的运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
1.加法:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
2.减法:
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
3.乘法:
z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
4.除法:
===+i(c+di≠0).
[必会结论]
1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
2.-b+ai=i(a+bi).
3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+1=0没有解.( )
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离,也等于复数对应的向量的模.( )
(4)已知复数z的共轭复数=1+2i,则z在复平面内对应的点位于第三象限.( )
(5)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)× (5)×
2.[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 C
解析 ∵z=i(-2+i)=-1-2i,∴复数z=-1-2i所对应的复平面内的点为Z(-1,-2),位于第三象限.
故选C.
3.[2017·全国卷Ⅱ]=( )
A.1+2iB.1-2i
C.2+iD.2-i
答案 D
解析 ===2-i.
故选D.
4.[2018·榆林模拟]设复数z=-2+i(i是虚数单位),z的共轭复数为,则|(1+z)·|等于( )
A.B.2C.5D.
答案 D
解析 ∵z=-2+i,∴=-2-i,
∴|(1+z)·|=|(1-2+i)·(-2-i)|=|3-i|==,故选D.
5.[2017·江苏高考]已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.
答案
解析 ∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1+3i,
∴|z|==.
|z|=|1+i||1+2i|=×=.
6.[2018·湖北高中联考]已知复数z=1+i(i是虚数单位),则-z2的共轭复数是________.
答案 1+3i
解析 -z2=-(1+i)2=-2i=1-i-2i=1-3i,其共轭复数是1+3i.
板块二 典例探究·考向突破
考向 复数的有关概念
例 1
(1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2B.i2(1-i)
C.(1+i)2D.i(1+i)
答案 C
解析 A项,i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i×2i=-2,不是纯虚数.B项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数.C项,(1+i)2=1+2i+i2=2i,是纯虚数.D项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选C.
(2)[2017·天津高考]已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________.
答案 -2
解析 ∵a∈R,===-i为实数,∴-=0,∴a=-2.
触类旁通
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程(组)求解.
【变式训练1】
(1)若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则的虚部为( )
A.-B.-iC.D.i
答案 A
解析 由题意得所以a=1,所以===-i,根据虚部的概念,可得的虚部为-.故选A.
(2)[2018·福州调研]已知m∈R,i为虚数单位,若>0,则m=( )
A.1B.C.D.-2
答案 B
解析 由已知得==
,由>0,可得1-2m=0,则m=,选B.
考向 复数的几何意义
例 2
(1)[2017·北京高考]若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)D.(-1,+∞)
答案 B
解析 ∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,
又∵复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,∴解得a<-1.故选B.
(2)[2018·贵阳模拟]已知i为虚数单位,a为实数,复数z=在复平面上对应的点在y轴上,则a=________.
答案 -3
解析 z===,由a+3=0,得a=-3.
触类旁通
复数几何意义的理解及应用
复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系,每一个复数都对应着一个点(有序实数对).复数的实部对应着点的横坐标,而虚部则对应着点的纵坐标,只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
【变式训练2】
(1)[2018·邯郸模考]已知i是虚数单位,若复数z=在复平面内对应的点在第四象限,则实数a的值可以是( )
A.-2B.1C.2D.3
答案 A
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