数学高考一轮复习训练高考大题专项练1 高考中的函数与导数.docx
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数学高考一轮复习训练高考大题专项练1高考中的函数与导数
高考大题专项练一 高考中的函数与导数
1.(2017福建福州一模)已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]的最小值h(a).
2.已知函数f(x)=(a<0).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围.
3.函数f(x)=+ax+2lnx(a∈R)在x=2处取得极值.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=m有三个实根,求m的取值范围.
4.(2017全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.
5.设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2.
(1)当a=-1时,在函数y=f(x)的图象上求一点P,使得点P到直线x-y+3=0的距离最小,求出距离的最小值;
(2)是否存在正实数a,使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
6.(2017全国Ⅱ,文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1) 8.已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=. ①求方程f(x)=2的根; ②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值. 参考答案 高考大题专项练一 高考中的函数与导数 1.解 (1)f'(x)=+2x-a(x>0). ∵x=3是函数f(x)的一个极值点, ∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=, ∴0 ∴f(x)的单调递增区间为,(3,+∞);f(x)的单调递减区间为. (2)g(x)=alnx+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'(x)=. ①当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上递增,g(x)min=g (1)=-a-1; ②当1< ③当≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上递减, 故g(x)min=g(e)=a(1-e)+e(e-2). 综上,h(a)= 2.解 (1)当a=-1时,f(x)=,f'(x)=. 由f'(x)=0,得x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极小值为f (2)=-,函数f(x)无极大值. (2)F'(x)=f'(x)=. 因为a<0,所以当x变化时,F'(x),F(x)的变化情况如下表: x (-∞,2) 2 (2,+∞) F'(x) - 0 + F(x) ↘ 极小值 ↗ 若使函数F(x)没有零点,当且仅当F (2)=+1>0,解得a>-e2,所以此时-e2 3.解 (1)由已知f'(x)=x+a+,f' (2)=2+a+=0,故a=-3, 所以f'(x)=x-3+,x>0, 由f'(x)>0,得0 由f'(x)<0,得1 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2). (2)由 (1)可知极小值f (2)=2ln2-4,极大值为f (1)=-. 因为方程f(x)=m有三个实根,所以2ln2-4 4. (1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增. 若a<0,则当x∈时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0. 故f(x)在单调递增,在单调递减. (2)证明由 (1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-. 所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2, 即ln+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减. 故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g (1)=0. 所以当x>0时,g(x)≤0. 从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2. 5.解 (1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,定义域为(0,+∞),f'(x)=-1+,显然x∈(0,1),f'(x)>0; x∈(1,+∞),f'(x)<0. 于是f(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,故f(x)max=f (1)=-1. 易知直线y=x+3的斜率k=1,设f(x)的切线斜率为1时,切点P(x0,y0)距离y=x+3最近. 由k==1,可知x0=, 则y0=-+ln,故P. 因此,d=. (2)假设存在正实数a满足题中条件. 设F(x)=f(x)-g(x)(x>0),即F(x)=ax+lnx-a2x2, 则F'(x)=a+-2a2x= =(x>0), 令F'(x)=0,得x=. 于是当x∈时,F'(x)>0; 当x∈时,F'(x)<0. 故F(x)在内是增函数,在内是减函数. 故F(x)max=F=a·+ln-a2·=1-lna-1=-lna. 要使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max≤0,即-lna≤0,即a≥1. 故存在正实数a∈[1,+∞),使f(x)≤g(x)恒成立. 6.解 (1)f'(x)=(1-2x-x2)ex. 令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+. 当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0; 当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0; 当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0. 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex. 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0), 因此h(x)在[0,+∞)内单调递减, 而h(0)=1,故h(x)≤1, 所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当00(x>0), 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0, 故ex≥x+1. 当0 当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞). 7.解f'(x)=ax-(2a+1)+(x>0). (1)f'(x)=(x>0). ①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)内,f'(x)>0,在区间(2,+∞)内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). ②当02,在区间(0,2)和内,f'(x)>0,在区间内,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是. ③当a=时,f'(x)=,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞). ④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)内,f'(x)>0,在区间内,f'(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是. (2)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1) 由题意可知g(x)max=0,由 (1)可知, ①当a≤时,f(x)在(0,2]上单调递增. 故f(x)max=f (2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 所以-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.故ln2-1 ②当a>时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)max=f-(2a+1)+2ln=--2-2lna<0. 故a>时满足题意. 综上,a的取值范围为(ln2-1,+∞). 8.解 (1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x. ①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. ②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0, 所以m≤对于x∈R恒成立. 而=f(x)+ ≥2=4,且=4, 所以m≤4,故实数m的最大值为4. (2)因为函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点, 而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g'(x)=axlna+bxlnb, 所以g'(x)=0有唯一解x0=lo. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(axlna+bxlnb)'=ax(lna)2+bx(lnb)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0, 所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)内的增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x) 因而函数g(x)在(-∞,x0)内是减函数,在(x0,+∞)内是增函数. 下证x0=0. 若x0<0,则x0<<0,于是g 又g(loga2)=-2>-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0 若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0. 于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.
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