高中数学专题训练教师版33导数地应用极值与最值Word文档格式.docx
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4.连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·
f′(x)>
0,则下列结论中正确的是()
A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点
B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点
C.x=-1不是函数f(x)的极值点
D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点
答案B
解析x>
-1时,f′(x)>
0x<
-1时,f′(x)<
0
∴连续函数f(x)在(-∞,-1)单减,在(-1,+∞)单增,∴x=-1为极小值点.
5.函数y=x3
3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是()
文案大全A.-17
3B.-10
3
C.-4D.-64
解析y′=x2+2x-3.
令y′=x2+2x-3=0,x=-3或x=1为极值点.
当x∈[0,1]时,y′<
0.当x∈[1,2]时,y′>
0,所以当x=1时,函数取得极小值,也为最小值.
∴当x=1时,ymin=-17
3.
6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象,如右图所示,则(
)
A.x=1是最小值点
B.x=0是极小值点
C.x=2是极小值点
D.函数f(x)在(1,2)上单增
答案C
解析由导数图象可知,x=0,x=2为两极值点,x=0为极大值点,x=2为极小值点,选C.
7.已知函数f(x)=12x3-x2-72x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()
A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<
f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)
D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定
解析由题意可得f′(x)=32x2-2x-72.
由f′(x)=12(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=73.
当x<
-1时,f(x)为增函数;
当-1<
x<
73时,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1).
8.函数f(x)=e-x
·
x,则()
A
.仅有极小值12e
B.仅有极大值12e
C.有极小值
0,极大值12e
D.以上皆不正确
文案大全解析f′(x)=-e-x
·
x
+12x·
e-x
=e-x-
x+12x)=e-x
1-2x2x.令f′(x)=0,得x=12.
当x>
12时,f′(x)<
0;
12时,f′(x)>
0.
∴x=12时取极大值,f
(12)=
1e
12=12e.
二、填空题
9.(2011·
西城区)若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值,则a=________,b=________.
答案-23-16
解析y′=ax+2bx+1.
由已知?
?
a+2b+1=0a2+4b+1=0,解得?
a=-23b=-16
10.已知函数f(x)=13x3-bx2+c(b,c为常数).当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围为________
答案0<
c<
43
解析∵f(x)=13x3-bx2+c,∴f′(x)=x2-2bx,∵x=2时,f(x)取得极值,∴22-2b×
2=0,解得b=1.
∴当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.
若f(x)=0有3个实根,
则?
f?
0?
=c>
0f?
2?
=13×
23-22+c<
0,,解得0<
11.设m∈R,若函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,则m的取值范围是________
答案m<
-12
解析因为函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,所以y′=ex+2m=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象
可得-2m>
1,即m<
-12.
12.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0),则极小值为________
文案大全答案0
解析f′(x)=3x2-2px-q,
由题知f′
(1)=3-2p-q=0.又f
(1)=1-p-q=0,
联立方程组,解得p=2,q=-1.
∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1.由f′(x)=3x2-4x+1=0,
解得x=1或x=13,
经检验知x=1是函数的极小值点,
∴f(x)极小值=f
(1)=0.三、解答题
13.(2010·
安徽卷,文)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值.
解析由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,
知f′(x)=cosx+sinx+1,
于是f′(x)=1
+2sin(x+π4).
令f′(x)=0,从而sin(x+π
4)
=-22,得x=π,或x
=3π2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,π)π(π,3π
2)3π2
(3π2,
2π)
f′(x)+0-0+
f(x)单调递增π+2单调递减32π单调递增
因此,由上表知f(x
)的单调递增区间是(0,π)与(3π2,2π),单调递减区间是(π,3π2),极小值为f(3π2)=3π2,极大值为f(π)=π+2.
14.(2010·
江西卷)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?
若存在,求出a的值;
若不存在,说明理由.
解析f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.
(1)由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2=2a18=1,所以a=9;
(2)由于Δ=36(a+2)2-4×
18×
2a=36(a2+4)>
0,
所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.
15.已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围.
解析
(1)f(x)=ax3-3x2,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′
(1)=0,∴a=2.
(2)解法一①当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0符
文案大全合题意;
②当a≠0时,f′(x)=3ax(x-2a),令f′(x)=0得:
x1=0,x2=2a.
当a>
0时,对任意x∈(-1,0),f′(x)>
0,∴a>
0符合题意;
当a<
0时,当x∈(2a,0)时,f′(x)>
0,∴2a≤-1,∴-2≤a<
综上所述,a≥-2.
解法二f′(x)=3ax2-6x≥0在区间(-1,0)上恒成立,∴3ax-6≤0,∴a≥2x在区间(-1,0)上恒成立,又2x<
2-
1=-2,∴a≥-2.
16.(2011·
沧州七校联考)已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.
(1)若f(x)在(0,12)上是减函数,求a的取值范围;
(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值?
若存在,求出a的取值范围;
若不存在,请说明理由.
解析
(1)f′(x)=-2x+a-1x,∵f(x)在(0,12)上为减函数,∴x∈(0,12)时-2x+a-1x<
0恒成立,即a<
2x+1x恒成立.
设g(x)=2x+1x,则g′(x)=2-1x
2.∵x∈(0,12)时1x
2>
4,∴g′(x)<
0,∴g(x)在(0,12)上单调递减,g(x)>
g(12)=3,∴a≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值,则f′(x)=0必须有两个不等的正实数根x1,x2,即2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根.
故a应满足?
Δ>
0a2>
a2-8>
0a>
a
>
22,∴当a
22时,
f′(x)=0有两个不等的实数根,
不妨设x1<
x2,
由f′(x)=-1x(2x2-ax+1)=-2x(x-x1)(x-x2)知,0<
x1时f′(x)<
0,x1<
x2时f′(x)>
0,x>
2时f′(x)<
∴当a>
22时f(x)
既有极大值f(x2)又有极小值f(x1).
1.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>
12),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于________
答案1
解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,
当x∈(0,2)时,f′(x)=1x-a,令f′(x)=0得x=1a,又a>
12,∴0<
1a<
2.
令f′(x)>
0,则x
<
1a,∴f(x)在(0,1a)上递增;
实用文档
文案大全令f′(x)<
0,则x>
1a,∴f(x)在(
1a,2)上递减,
∴f(x)max=f(1a)=ln1a-a·
1a=-1,∴ln1a=0,得a=1.
2.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<
c2成立,求c的取值范围.
解
(1)f′(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
则有f′
(1)=0,f′
(2)=0,
即?
6+6a+3b=0,24+12a+3b=0.解得a=-3,b=4.
(2)由
(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时,f′(x)>
当x∈(1,2)时,f′(x)<
当x∈(2,3)时,f′(x)>
所以,当x=1时,f(x)取得极大值f
(1)=5+8c.又f(0)=8c,f(3)=9+8c,
则当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x∈[0,
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