初四数学总复习 方程组Word文档格式.docx
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拓展1:
等式两边同时被一个数或式子减,结果仍相等。
如果a=b,那么c-a=c-b
拓展2:
等式两边不等于0时,被同一个数或式子除,结果仍相等。
如果a=b≠0,那么
=
拓展3:
两个等式左右两边相加,结果仍相等。
如果a=b,c=d,那么a+c=b+d
意义
等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质。
如移项,运用了
等式的性质1;
去分母,运用了等式的性质2。
二、方程的基础知识
方程:
含有_________的等式叫做方程。
方程的解:
使方程左右两边相等的________________叫做方程的解。
有些题目中会告诉我们某数值是一方程的解,此时应当具有的技巧是可以将方程的解代
入方程。
例:
若x=3是方程2x-10=4a的解,则a2=_______
解方程:
求方程的解的过程叫解方程。
拓展:
解方程就是对方程进行“同解变形”,即变形前后的两个方程同解。
1、方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得方程与原方程是同解方程。
2、方程两边都乘以(或除以)不等于0的同一个数,所得方程与原方程是同解方程。
因此,等式的基本性质是解方程的依据。
三、一元一次方程
概念:
____________________________________________________,叫做一元一次方程。
解法根据
主要根据等式的基本性质解答,具体过程中经常用到乘法分配率、去括号法则等。
解法思想
运用的数学思想是_____的思想,即将所给的方程,经过一系列的变形,最终化成______的形式。
一般步骤
1.去分母;
2.去括号;
3.移项;
4.合并同类项;
5.未知数的系数化为1.
解方程实例:
1.
(x+15)=1-
(x-7) 2.(2x+
)-(5x-
)=1
3.
+2.5=
4.30%x+70%(200-x)=200×
54%
四、一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程,整理后如果可以化为_______________________(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。
(等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程。
即未知数不在分母位置的方程。
)
由此,要判断一方程是否是一元二次方程,先看它是否是“整式方程”,若是,再整理,能化成一般式______________________________的,才是一元二次方程。
解法根据:
主要有等式的基本性质,平方根的意义,因式分解等
解法思想:
有转化、由特殊到一般、归纳的数学思想。
四种解法
1.直接开平方法;
2.配方法;
3.公式法;
4.分解因式法。
其中,1、4两种法是用于特殊方程的特殊法。
3、4两种法是用于一般方程的一般法。
直接开平方法:
(该法主要用于下面的三类方程)
1.4x2-7=0 2.
(2x-1)2=8 3.x2-x+
配方法:
(要掌握一般步骤。
用配方法解方程:
1、3x2+8x-3=02、ax2+bx+c=0(a≠0)
从上面的用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程发现:
A:
当b2-4ac≥0时,它的根是x1=________________,x2=__________________这就是一元二次方程的求根公式。
公式法(用求根公式解一元二次方程的方法)
注意:
必须先将所给方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0),再用公式求解。
用公式法解下面的方程
1.x2-2x=12.(2x+1)(x+2)=3
B:
从一元二次方程的求根公式中可以看出:
一元二次方程的根的值,只与系数有关。
已知实数a,b满足方程a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,求
+
的值。
C:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理:
①若Δ=b2-4ac>0,方程______________________________的实数根;
②若Δ=b2-4ac=0,方程_______________________________的实数根;
③若Δ=b2-4ac<0,方程________________________。
以上三个结论反过来也是正确的。
可以利用上面的定理解决下面两类问题:
1、方程x(2x-5)=-4根的情况是_____________________
2、已知关于x的方程x2+(m+1)x+(m-2)2=0有两个相等的实数根。
(1)求m的值;
(2)求出此时方程的根。
D:
一元二次方程根与系数的关系定理:
若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,那么x1+x2=______________x1·
x2=_________________。
(自己利用求根公式验证)
例1:
已知x1,x2是x2-3x+1=0的两个根,则x1+x2=__________,x12x2+x1x22=_______________
例2:
已知关于x的方程5x2+kx+2k=0的一个根是
,求它的另一个根及k。
分解因式法(当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积时,用此法最为快捷)
1.(2x+3)2=4(2x+3)2.(x-2)2=(2x+3)2
3.(x-2)(x-3)=124.2x2-x-1=0
五、分式方程
分母中含有________________的方程叫分式方程。
解法依据:
主要是等式的基本性质。
解法思想:
主要运用“转化”的数学思想
解分式方程的一般步骤:
1、适当整理方程,找准最简公分母;
2、方程两边都乘最简公分母,约去分母,得到整式方程;
3、解整式方程;
4、检验。
解下面的分式方程
1、
+
=42、
=
增根问题:
1、当m___________________时,方程
=1有增根。
2、当a___________________时,方程7+
=
无增根。
六、二元一次方程(组)
二元一次方程组中各个方程的__________,叫做这个二元一次方程组的解。
主要是等量代换、等式的基本性质
“消元”思想和“化未知为已知”的转化(化归)思想。
两种解法:
代入法和消元法
用代入法解下面的方程组:
1、x=
2、4x+3y=5
4x+3y=65x-2y=4
用加减法解下面的方程组:
1、4s-3t=52、5x-6y=9
2s-t=-57x-4y=-5
七、应用
在解决问题的过程中,若遇到需要“求出题中的未知量”,就应考虑运用方程(组)的知识。
用方程解问题的一般步骤是:
理解题意;
找出_______________;
设未知数列方程;
解方程;
作出结论。
其中_______________________是关键。
运用方程(组)知识解决问题的典型习题.
A、等量关系是“同一个量的不同表示”,即若能将题中某一个量利用含有未知数的不同代数式表示,自然就产生了方程。
1、要锻造一个直径为8cm,高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm?
2、某课外小组,原有女生人数占全组人数的
,后来又有6名女生加入,现在女生人数占全组人数的一半,该小组原来有多少人?
B、典型的工程问题:
(此类问题的特点见下面的习题)
解决这类问题,需熟练掌握基本公式:
工作效率×
工作时间=工作总量以及它的变形。
用于列方程的等量关系可以简单概括为:
甲的工作量+乙的工作量=1
1、一项工程,甲单独做需20天完成,乙单独做需30天完成,如果先由甲单独做8天,再由乙单独做3天,剩下的由甲,乙两人合作还需要几天完成?
2、一项工程,甲单独完成需要9天,乙单独完成需12天,丙单独完成要15天,若甲、丙先做3天后,甲因故离开,由乙接替甲的工作,问还需多少天能完成这项工程的
?
3、为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。
如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;
如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成,现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工,则刚好如期完成。
问原来规定修好这条公路需多长时间?
4、一项工程,甲、乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;
如果甲、乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司的少1500元。
(1)甲、乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?
C、百分数问题(先掌握下面的基础知识)
1、某种服装按成本价提高40%后标价是175元,求成本价是多少元?
由条件“按成本价提高40%后标价是175元”,可以知道:
标价是成本价的()倍,若设成本价为x元,那么标价是______________元。
2、某种产品现在每件的成本是40元,比原来的成本降低了20%,原来的成本是多少元?
由条件“比原来的成本降低了20%”,可以知道:
现在成本是原来成本的()(倍)。
在百分数问题中,像“成本价”、“原来成本”这样的量称为“标准数”,像“标价”、“现在成本”这样的量称为“比较数”,若问题中的标准数未知,就应当将标准数设为未知数,先求出标准数。
3、熟记像“利润率”、“存款利率”这样的百分率计算公式,在百分数应用题中,有时就是把这些公式及变形作为等量关系的。
利润率=
存款利率=
4、“按原价的8折出售”是指售价是原价的_____________.
本类问题中的等量关系多结合“关键的字句”寻找,有时可能用到“利润=售价-成本”。
典型习题:
1、某商场将彩电先按原售价提高30%,然后再在广告中写上“大酬宾、八折优惠”,结果每台彩电比原售价多赚了112元,求每台彩电的原价应是多少元?
2、某种商品的零售价为每件900元,为了适应市场竟争,商店按零售价的九折降价并让利40元销售,仍可获利10%。
则进价为每件多少元?
3、某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率。
4、某商场今年
月份的营业额为
万元,
月份的营业额比
月份增加
,
月份的营业额达到
万元,求
月份到
月份的营业额的平均月增长率.
5、某电脑公司2012年的各项经营中,一月份的营业额约为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,
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