《勾股定理》培优训练1Word文档下载推荐.docx
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AB,求∠APB的度数.
探究:
已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
(1)连接PA、PB,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°
,然后即可求出∠APB的度数;
(2)先根据勾股定理求出AC的长度,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况,根据三角形的性质计算即可得解.
4.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G.
(1)求证:
GE=GF;
(2)若BD=1,求DF的长.
5.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21,AD=9.求AC的长.
6.已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2.
(1)求线段OA2的长;
(2)若再以OA2为边,按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,…△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.
7.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°
,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
8.细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题.
(
)2+1=2,S1=
;
)2+1=3,S2=
)2+1=4,S3=
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出S12+S22+S22+…+S102的值.
9.Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上,直角顶点B在第四象限内,S△OAB=20,OB:
AB=1:
2,求A、B两点的坐标.
10.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CA=CB,有一个圆心角为45°
,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证:
MN2=AM2+BN2;
请你完成证明过程:
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
11.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连结BD,交AC于F.
(1)猜想BD与DE的位置关系,并证明你的结论;
(2)求△BDE的面积S.
12.已知∠ABC=90°
,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=2
,点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出结果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=2
,设BP=4,求QF的长.
13.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)求证:
BC=CD.
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:
BC边和邻边CD的长度是否一定相等?
请证明你的结论.
(3)探究:
在
(2)的情况下,如果再限制∠BAD=60°
,那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系?
需说明理由.
14.在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°
.求证:
a2=b(b+c)
15.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AD=AB=4,BC=7,点E在BC边上,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'
处.
(1)求∠C'
DE的度数;
(2)求△C'
DE的面积.
16.在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°
,∠ADC=60°
,AB=2,BC=11,求:
(1)CD的长.
(2)四边形ABCD的面积.
17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:
BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°
,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?
如果成立,请证明;
如果不成立,请说明理由.
18.已知在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点在边BC上,BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F,若BD=4,∠BAD=45°
.
(1)如图:
若∠BAC是锐角,则点F在边AC上,①求证:
△BDE≌△ADC;
②若DC=3,求AE的长;
(2)若∠BAC是钝角,AE=1,求AC的长.
19.如图,△ABC是一个边长为1的等边三角形,BB1是△ABC的高,B1B2是△ABB1的高,B2B3是△AB1B2的高,B3B4是△AB2B3的高,…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高
(1)求BB1的长;
(2)填空:
B1B2的长为,B2B3的长为;
(3)根据
(1)、
(2)的计算结果,猜想写出Bn-1Bn的值(用含n的代数式表示,n为正整数).
20.如图,△ABD、△CBD都是等边三角形,DE、BF分别是△ABD的两条高,DE、BF交于点G.
(1)求∠BGD的度数;
(2)连接CG,①求证:
BG+DG=CG;
②求
的值.
21.
(1)如图1,在△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5.D为AB边上一点,且△ACD与△BCD的周长相等,则AD=.
(2)如图2,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB2=BC2+AC2.E为BC边上一点,且△ABE与△ACE的周长相等;
F为AC边上一点,且△ABF与△BCF的周长相等,求CE•CF(用含a,b的式子表示).
22.如图,在△ABC中,∠ABC=45°
,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.
(1)求证:
BH=AC;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
23.如图,等边△ABC和等边△DEC,CE和AC重合,CE=
AB.
(1)求证:
AD=BE;
(2)若CE绕点C顺时针旋转30°
,连BD交AC于点G,取AB的中点F边FG.求证:
BE=2FG.
24.在讨论问题:
“如图1,∠ABC=30°
,AD=CD,请问:
BD、AB、BC三边满足什么关系”时,某同学在图中作△ACE≌△DCB,连接BE得图2,然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2.他的判断是否正确?
请说明理由.
26.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF.
(1)如果CA=CB,求证:
AE2+BF2=EF2;
(2)如图2,如果CA<CB,
(1)中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗?
27.已知:
△ABC中,AB<BC,AC的中点为M,MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N.
(1)如图1,若∠ABC=60°
,求证:
BA+BC=
BN;
(2)如图2,若∠ABC=120°
,则BA、BC、BN之间满足什么关系式,并对你得出的结论给予证明.
(1)连接AN、CN,过点N作NE⊥AB于点E,NF⊥BC于点F,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF,然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CNF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CF,然后求出BA+BC=2BF,在Rt△BNF中,利用∠NBF的余弦值列式整理即可得证;
(2)连接AN、CN,在BC上截取BE=AB,然后利用“边角边”证明△ABN和△ABE全等,根据全等三角形对应边相等可得NA=NE,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC,从而得到NE=NC,过点N作NF⊥BC于点F,根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=
EC,然后表示出BF,在Rt△BFN中,利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解.
28.在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC=2,BC=2
,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°
(A,D,E按逆时针方向).如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
∠1=∠2.
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
※(3)如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′,是否存在点D,使△ADE′是等腰三角形?
若存在,写出所有点D的位置;
若不存在,请简要说明理由.
(1)求出∠B=45°
,根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°
+∠2,求出即可.
(2)分为三种情况,①DE=AE,②AD=AE,③AD=DE,根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等),三角形全等推出即可.(3)存在,条件是CD=AC,求出∠DE′A=∠CAD=22.5°
,根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC,∠ADE=45°
可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD;
再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′.存在,当D在BC延长线上,且CD=CA时,△ADE′是等腰三角形,理由是:
∵∠ACB=45°
,∴∠ADB<45°
,∴∠EDB<90°
,∴∠BDE′永远是钝角,∴∠ADE′是钝角,即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角,∵∠ADE=45°
=∠ACB=∠DCE′,又∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA=22.5°
,∴∠EDC=67.5°
,∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°
,∴∠CAD=∠CE′D,∴DA=DE′,∴△ADE′是等腰三角形.
29.如图,△ABC是等边三角形,过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D,连接AD,过点C作∠BCE=∠BAD,交AB的延长线于点E.
(1)求证:
BD=BE;
(2)若CD=4,求AD的长.
30.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°
,则∠BFC=;
(2)如图2,若∠ABC=30°
,△ACD是等边三角形,BC=4,AB=3.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,判定∠DAC与∠ABC的数量关系,并证明你的结论.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥
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- 勾股定理 训练