初等数论教案4Word文件下载.docx
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记d=(a1,a2,,an).若方程
(1)有解,设为(x1,x2,,xn).则由dai(1in)及整除的性质容易知道式
(2)成立.必要性得证.
另一方面,存在整数y1,y2,,yn使得
a1y1a2y2anyn=(a1,a2,,an)=d.
因此,若式
(2)成立,则
就是方程
(1)的解,充分性得证.证毕
2、定理2设a,b,c是整数,方程
axby=c(3)
若有解(x0,y0),则它的一切解具有
,tZ(4)
的形式,其中
.
容易验证,由式(4)确定的x与y满足方程(3).下面证明,方程(3)的解都可写成式(4)中的形式.
设(x,y)是方程(3)的解,则由
ax0by0=axby=c
得到
a(xx0)=b(yy0),
由此,以及
xx0,因此存在整数t,使得
证毕
定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤:
(ⅰ)判断方程是否有解,即(a,b)c是否成立;
(ⅱ)利用辗转相除法求出x0,y0,使得ax0by0=(a,b);
(ⅲ)写出方程(3)的解
3、定理3设a1,a2,,an,b是整数,再设(a1,a2,,an1)=dn1,(a1,a2,,an)=dn,则(x1,x2,,xn)是方程
(1)的解的充分必要条件是存在整数t,使得(x1,x2,,xn,t)是方程组
(5)
的解.
若有整数t,使得(x1,x2,,xn,t)是方程组(5)的解,则显然(x1,x2,,xn)满足方程
(1).
设(x1,x2,,xn)是方程
(1)的解,则
a1x1a2x2an1xn1anxn=b.(6)
令
a1x1a2x2an1xn1=b,
则dn1=(a1,a2,,an1)b.
因此,存在tZ,使得
a1x1a2x2an1xn1=dn1t,(7)
再由式(6),得到
dn1tanxn=b,
即(x1,x2,,xn,t)满足方程组(5).证毕
定理3说明了求解n元一次不定方程的方法:
先解方程组(5)中的第二个方程,再解方程组(5)中的第一个方程,于是,解n元一次不定方程就化为解n1元一次不定方程.重复这个过程,最终归结为求解二元一次不定方程.记
(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,,(dn2,an1)=dn1,(dn1,an)=dn,
逐个地解方程
dn1tn1anxn=b,
dn2tn2an1xn1=dn1tn1,
d2t2a3x3=d3t3,
a1x1a2x2=d2t2,
并且消去中间变量t2,t3,,tn1,就可以得到方程
(1)的解.
例1求不定方程3x6y=15的解.
解(3,6)=315,所以方程有解.
由辗转相除法(或直接观察),可知x=1,y=1是
3x6y=3
的解,所以x0=5,y0=5是原方程的一个解.由定理2,所求方程的解是
,tZ.
例2求不定方程3x6y12z=15的解.
解原方程等价于
x2y4z=5.(8)
由定理3,依次解方程
t4z=5,
x2y=t,
分别得到
,uZ,(9)
,vZ.(10)
将式(9)与式(10)中的t消去,得到
,u,vZ.
注:
本例在解方程时,首先将原方程化为等价方程(8),这使问题简化.例1也可以如此处理.
例3设a与b是正整数,(a,b)=1,则任何大于abab的整数n都可以表示成n=axby的形式,其中x与y是非负整数,但是n=abab不能表示成这种形式.
解(ⅰ)由定理2,方程
axby=n(11)
的解具有
,tZ(12)
的形式,其中x0与y0满足方程(11).
由假设条件n>
abab及式(11)与式(12),有
ax=nby=nb(y0at)>
ababb(y0at).(13)
取整数t,使得
0y=y0ata1,
则由式(13)得到
ax>
ababb(a1)=a,
x>
1,x0,
即n=axby,x0,y0.
(ⅱ)设有x0,y0,使得
axby=abab,(14)
则
a(x1)b(y1)=ab.(15)
所以ab(y1).但是(a,b)=1,于是必有
ay1,y1a.
同理可以证明x1b,从而
a(x1)b(y1)2ab,
这与式(15)矛盾,所以(14)式是不可能的.
例4设a,b,c是整数,(a,b)=1,则在直线axby=c上,任何一个长度大于
的线段上至少有一个点的坐标都是整数.
解由定理2,直线axby=c上的坐标都是整数的点(xt,yt)的坐标是
,tZ,
其中(x0,y0)是直线axby=c上的坐标都是整数的点,由定理1,这样的点是存在的.
对于任意的tZ,记Pt是以(xt,yt)为坐标的点,则Pt1与Pt之间的距离
这说明,两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是
,从而得出所求之结论.
例5将
写成三个分数之和,它们的分母分别是2,3和5.
解设
,
15x10y6z=19.
依次解方程
5t6z=19,
15x10y=5t,
,uZ,(16)
,vZ.(17)
从式(16)与式(17)中消去t,得到
取u=0,v=0,得到x=1,y=1,z=4,因此
例6甲物每斤5元,乙物每斤3元,丙物每三斤1元,现在用100元买这三样东西共100斤,问各买几斤?
解设买甲物x斤,乙物y斤,丙物z斤,则
5x3y
z=100,
xyz=100.
消去z,得到
7x4y=100.(18)
显然x=0,y=25是方程(18)的解,因此,方程(18)的一般解是
,tZ
因为x0,y0,所以
0t3.
即t可以取值t1=0,t2=1,t3=2,t4=3.相应的x,y,z的值是
(x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84).
例7求不定方程x2y3z=7的所有正整数解.
解依次解方程t3z=7,
得到
,uZ,
,vZ.
从上式中消去t,得到
,u,vZ.(19)
要使x1,y1,z1,则应有
3u2v0,v1,1u0.(20)
所以
3u2v2,u1
u1,
即u=1.由此及式(20),有
32v0,v1
v1,
所以v=1.将u=1,v=1代入式(19),得到原方程的唯一的一组正整数解x=2,y=1,z=1.
二、小结
三、作业
1.将
写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7.
2.求方程x12x23x3=41的所有正整数解.
3.求解不定方程组:
4.甲班有学生7人,乙班有学生11人,现有100支铅笔分给这两个班,要使甲班的学生分到相同数量的铅笔,乙班学生也分到相同数量的铅笔,问应怎样分法?
5.证明:
二元一次不定方程axby=n,a>
0,b>
0,(a,b)=1的非负整数解的个数为
1.
6.设a与b是正整数,(a,b)=1,证明:
1,2,,abab中恰有
个整数可以表示成axby(x0,y0)的形式.
1.设
,即35x21y15z=17,因(35,21)=7,(7,15)=1,117,故有解.分别解5x3y=t,7t15z=17得x=t3u,y=2t5u,uZ,t=1115v,z=47v,vZ,消去t得x=1115v3u,y=2230v5u,z=47v,u,vZ.对于任意的确定的u和v的值,都给出一种表示法.
2.分别解x12x2=t,t3x3=41得x1=t2u,x2=u,uZ,t=413v,x3=v,vZ,消去t得x1=413v2u,x2=u,x3=v,u,vZ.由此得原方程的全部正整数解为(x1,x2,x3)=(413v2u,u,v),u>
0,v>
0,413v2u>
0.
3.消去x1得9x214x3=3,解得x2=914t,x3=69t,tZ,从而得不定方程组的解为x1=4355t,x2=914t,x3=69t,tZ,
4.设甲、乙班的学生每人分别得x,y支铅笔,则7x11y=100,解这个不定方程得x=8,y=4.
5.二元一次不定方程axby=n的一切整数解为
,tZ,于是由x0,y0得
,但区间
的长度是
,故此区间内的整数个数为
6.因为0,1,2,,abab中共有(a1)(b1)个数,故只须证明n与gn(g=abab)有且只有一个能表示成axby(x0,y0)的形式.如果n与gn都能表示成axby(x0,y0)的形式,即axby=n(x0,y0),axby=gn(x0,y0),则a(xx)b(yy)=g,这是不可能的;
如果n不能表示成axby(x0,y0)的形式,则因为二元一次不定方程axby=n的一切整数解为
,tZ,所以当t使0xb1时,必有y1,于是a(b1x)b(1y)=gn,即gn能表示成axby(x0,
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