电力系统谐波分析的高精度FFT算法Word格式.docx
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电力系统的谐波分析,通常都是通过快速傅立叶变换(FFT)实现的。
然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象,使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准,尤其是相位误差很大,无法满足准确的谐波测量要求。
为了提高FFT算法的精度,V.K.Jain等提出了一种插值算法,对FFT的计算结果进行修正,可以有效地提高计算精度。
在此基础上,T.Grandke又利用海宁(Haning)窗减少泄漏,进一步提高了计算精度。
海宁窗w(n)=0.5-0.5cos(2πn/N)是一种余弦窗,它仅包括两项。
如果增加余弦项的项数,可进一步减少泄漏。
本文分析了多项余弦窗的特性,并提出了对加窗后信号进行插值的算法。
该算法能极大地提高FFT计算的精度,从而满足谐波测量中对谐波参数的精度要求。
文中给出了计算实例,实例表明该算法具有很高的计算精度,即使对于幅值很小的偶次谐波也能准确地求出其各项参数,尤其是对于提高相位计算的精度更为明显。
2 离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应
在谐波测量中,所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。
设待测信号为x(t),采样间隔为Δt秒,采样频率fs=1/Δt满足采样定理,即fs大于信号最高频率分量的两倍。
则采样信号为x[n]=x(nΔt),并且采样信号总是有限长度的,即n=0,1,…,N-1。
也就是说,所分析的信号的持续时间为T=NΔt,这相当于对无限长的信号做了截断,因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。
设信号为单一频率信号
xm(t)=Amejωmt
(1)
矩形窗为
(2)
持续时间为T的信号相当于xm与wT的乘积
(3)
xm(t)的傅立叶变换为xm(ω)=Am2πδωm(ω),即在ωm处有一条单一的谱线。
矩形窗的傅立叶变换为
(4)
根据傅立叶变换的乘积定理,
m(t)的傅立叶变换为xm(ω)和WT(ω)的卷积
若不计相位的变化,
m(ω)的幅值如图1所示。
可以看出
m(ω)已不再是单一的谱线,而是分布在整个频率轴上,这就是说能量不再集中,即产生了泄漏现象。
谐波分析中,各次谐波所泄漏的能量会相互影响,造成误差。
图1 泄漏的产生
Fig.1 Theleakageofspectrum
对于离散傅立叶变换(DFT)来说,从频率的离散化得到
(6)
式中 Δω=2π/T。
离散化的频谱如图2所示。
图2 x(n)的离散频谱
Fig.2 Thediscretespectrumofx(n)
从图2可以看出,如果不是整周期采样,即信号ωm不是Δω的整倍数,那么即使信号只含有单一频率,DFT也不可能求出信号的准确参数,这一现象通常叫做栅栏效应。
插值算法可以消除栅栏效应引起的误差,而谐波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。
3 余弦窗的特性
余弦窗的一般表达式为
(7)
式中 K是余弦窗的项数。
K=0时,就是矩形窗。
为了满足插值计算的需要,对系数ak有如下限制
设幅值为1的矩形窗为w0(n)=1,n=0,1,…,N-1,它的离散傅立叶变换DFT称为狄里克来核(Dirichlet)
(9)
余弦窗的特点是它的DFT表达式很简单,可以表示为狄里克来核的代数和
(10)
不同K值和系数ak决定了不同的窗,K=1时,a0=0.54,a1=0.46,为哈明窗,a0=a1=0.5为海宁窗;
K=2,a0=0.42,a1=0.50,a2=0.08时为布莱克曼窗。
图3给出了K=0、…、3时窗的对数频谱。
可以看出,当K增大时,旁瓣衰减增大,因而能够更好地抑制泄漏,同时也可看到主瓣宽度随K值而增加,因而K值也不宜选得太大。
图3 窗函数的对数频谱
Fig.3 Thelogarithmspectrumofthewindowfunctions
选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频
谱计算。
通常信号加窗都是在时域进行的,即xw(t)=x(t)w(t),然后进行傅立叶变换。
而对于余弦窗,可以先对信号进行傅立叶变换,然后在频域进行处理。
设离散信号x(n)的频谱为X(θ),则由公式(10)可以得出
(11)
这一特点便于我们导出下面的插值方法。
4 插值方法
为简便起见,设采样间隔Δt=1,DFT的频率分辨率Δf=1/T=1/(Δt.N)=1/N。
对于单一频率信号
xm(t)=Amej2πfmt(12)
可以得出
(13)
对于离散频谱,θ仅能取0…N-1之间的整数值。
设fm在频率lΔf和(l+1)Δf之间,l为整数,即
fm=(l+λ)Δf 0≤λ<
1 (14)
则当λ<
0.5时,|X(l)|取得极大值;
当λ>
0.5时,|X(l+1)|取得极大值,并且由(13)式得到
Xm(l+n)=AmD(n-λ),n为整数 (15)
此式代入(11),得到加窗信号的频谱在整数采样点的数值为
设定如下系数
(17)
式中 Xmw(l)和Xmw(l+1)是相邻的两个峰值点。
由于通常N都取得较大(N≥1024),而且λ<
1,因此可以做以下近似
利用公式(16)和(17),即可求出K值时插值点的准确的λ值。
将λ代入公式(14),即可得到准确的频率fm。
将λ代入公式(16),即可得到准确的复振幅Am,从而求出准确的幅值|Am|和相位φm。
5 插值公式
下面讨论K=0,…,3时的插值公式。
当K=0时,由于窗系数ak不满足公式(8b),我们须对公式(17)做些修正,令
(18)
从而可求出
(19)
频率仍用(14)式,幅值用(16)式得到
(20)
相位计算可用下式
(21)
当K=1时,选用海宁窗,可以算出
(22)
代入公式(16)可以得出复幅值
(23)
相位用复幅值Am算出
(24)
当K=2时,选用布莱克曼窗,可以得到
(25)
求出λ在0和1之间的根后,利用(14)式可算出频率fm,利用公式(16)可算出幅值Am,并利用公式(24)计算相位φm。
当K=3时,选用布莱克曼-哈里斯窗,可以得到
α=-[-12.914+1.223(λ2-1)-0.2836(λ-1)4](λ+3)/[(0.2836λ4-1.223λ2+12.914)(λ-4)](26)
其余参数计算过程同上。
6 模拟分析结果
加窗插值方法具有很高的精度,尤其是在以下两个方面:
一是对于相位的计算。
FFT所算出的相位误差很大,根本无法用于谐波分析。
而该方法使相位精度得到显著提高,因而使得谐波分析、阻抗计算有了切实的依据。
二是能够有效地抑制谐波之间,或杂波及噪声的干扰。
即使对于幅值较小的偶次谐波,在FFT中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹没,该方法也能准确地算出其各项参数。
以下提供一组计算实例,信号幅值为电力系统实测谐波参数,相位参数为自拟,基波为50Hz工频,采样频率为3000Hz,数据长度为1024采样点:
表1 谐波信号参数
Tab.1 Parametersofharmonicsignal
谐波fk
基波
二次
三次
四次
五次
六次
七次
八次
九次
十次
十一次
幅值Ak
240
0.1
12
2.7
0.05
2.1
0.3
0.6
相位φk
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
-
80°
100°
为节省篇幅,表2仅列出了用FFT算法及用海宁窗(K=1)和布莱克曼-哈里斯窗(K=3)时的计算结果,图4给出了计算误差曲线。
可以看出FFT的结果误差大,尤其是相位的计算结果根本是不可用的。
加窗后精度提高了三、四个数量级,而当K=3时精度最高,尤其是相位计算准确,完全可以满足电力系统谐波分析的要求。
表2 FFT算法与加窗插值算法计算结果比较
Tab.2 ComparisonofFFTandwindowedinterpolation
频率
50
100
150
200
250
350
450
550
FFT
49.805
102.539
149.414
202.148
249.023
348.633
448.242
547.852
K=1
50.000
99.870
150.000
199.984
250.000
350.000
450.000
550.000
K=3
50.
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