速算与巧算Word格式.docx
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例如99×
97=9603
两个都略大于100(或1000、10000、…..)的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和-1):
例如102×
105=10710
一个略大于100(或1000、10000、…..)、一个略小于100(或1000、10000、…..)的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和或-1):
例如97×
105=10185
1.
公式法
1.定义新运算
深入理解运算律(加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律)
1.等差数列及其运用
1.等差数列的定义
若前后两项的差为定值,我们把这样的数列称之为等差数列。
2.公式:
an=a1+(n-1)×
d
sn=na1+n(n-1)d/2
sn=(a1+an)×
n/2
1+3+5+7+9+…….+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+……+2n=n(n+1)
1+2+3+4+5+…….+(n-1)+n+(n-1)+……..+5+4+3+2+1=n2
等差中项:
如果在a和b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项。
如果a、b、c三项成等差数列,则2b=(a+c),这就是等差中项的基本性质。
等比数列
4.等比中项性质:
等比中项的值等于距该项等距的积的平方根。
五、方程
1.数阵图
2.填横式
3.列方程解应用题的基本步骤
I.根据题意,设未知数
II.寻求等量关系,建立方程
III.解方程,求出答案(注意:
要注意检验,一是要满足方程,二是要有实际意义。
IV.作答
1.不定方程
I.Ax+by=c
II.X+Y+XY=4(含交差项)
III.
若整数系数方程ax+by=c的一组特解是
1.一元一次方程的解法步骤
I.有分母的先去分母,在去分母的同时,若分子是多项式,应添括号,与此同时,每一项都有应乘以最小公分母,特别是常数项。
II.去括号,在去括号的同时,要注意符号。
III.移项。
一般将含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到另一边。
IV.合并同类项。
V.化成最简形式:
ax=b
VI.
讨论:
1.绝对值方程的解法
2.一次方程组的解法
六、应用题
1.行程问题
行程问题是研究物体运动的,它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间的相依关系。
行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况,但主要是两个物体相向运动和同向运动。
两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形:
同时相向而行:
相遇时间=距离÷
速度和;
同时同地相背而行:
距离=速度和×
时间;
同时同向而行:
速度慢的在前,快的在后,追及时间=距离÷
速度差;
同时同地同向而行:
速度慢的在后,快的在前,距离=速度差×
时间。
这类问题,除了速度、距离、时间外,还涉及如下一些重要因素,解题时千万不可忽视。
运动方向:
相向、相背、同向。
出发地点:
同地、不同地。
运动途径:
直线、圆周。
运动结果:
相遇、相距、交叉而过、追及。
解答这类问题,关键在于考虑相同的单位1与整体之间的关系,相同单位1的数也称“同数”,所以行程问题,又叫同数问题。
2.工程问题
工作总量(一般视为单位1)=工作效率×
工作时间
3.
浓度问题
溶液=溶质+溶剂
一种物质溶解到另一种物质里,形成均一的、相对稳定的混合物,通常叫做溶液。
我们把前一种物质叫做溶质,后一种物质叫做溶济。
解决浓度问题的关键是根据题意,明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。
4.利率问题
利息=本金×
期数×
利率
备注:
在建立方程时,用加减号连接起来的每一项具有相同的物理意义;
方程里每一个单项式都要有相同的物理意义。
7.几何问题
1.计数问题
定理一:
对于n×
n个顶点,可作出斜向正方形的个数恰好等于(n-1)×
(n-1)个顶点时所有正方形的个数。
例如:
顶点个数
2×
2
3×
3
4×
4
5×
5
正向正方形个数
1
14
30
斜向正方形个数
6
20
正方形总数
50
2.图形的剪拼
剪拼前后,面积不变。
定理二:
将一个大正方形分割成n个大小、形状相同的图形,则分割线必过中心点,而且将其中一个绕中心点旋转360/n的倍数后,必与其它图形重合。
3.格点与面积
如果用S表示面积,用N表示图形内的格点数,用L表示周界上的格点数,那么S=N+L/2-1(正方形格点,且最小正方形面积为1个单位)
(同上,关于三角形格点的面积)S=2N+L-2(最小三角形面积为1个单位)
4.面积
如果两个图形能够完全重合,则这两个图形面积相等。
把一个图形分成有限个小部分,则整个图形的面积等于所有这些小部分的面积和。
这两条性质是面积割补的理论依据。
导出三角形:
以平行四边形的一条边为底边,第三顶点在平行四边形中这条边对边上的三角形,叫做该平行四边形的一个导出三角形。
同一个平行四边形的所有导出三角形的面积相等,且等于平行四边形面积的一半。
平行四边形的一条对角形平分该平行四边形面积。
等底等高的三角形等积。
共边三角形面积与边比。
图形绕定点的旋转:
在平面图形的割补中,有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置、产生一种新的图形结构。
利用这种图形结构可以帮我们解决面积的计算问题,当然,图形在转动过程中形状大小不发生改变。
轴对称与图形的折叠:
轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧的部分可以完全重叠,因此如果一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积。
等腰三角形是轴对称图形,由顶点引向底边的高所在的直线是它的对称轴。
长方形是轴对称图形,对边中点连线是它的对称轴。
长方形有两条对称轴。
正方形是轴对称图形,对边中点连线、两条对角线所在直线都是它的对称轴,正方形共有四条对称轴。
菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线是它的对称轴。
筝形也是轴对称图形,其中有一条对角线是另一条对角形的垂直平分线,这条对角线所在直线是筝形的对称轴。
圆是最典型的轴对称图形。
过圆心的任一条直线都是它的对称轴,因此,圆的对称轴有无数多条。
圆的直径平分圆的面积。
弦图的妙用(一般不要求掌握,但参加华赛杯竞赛理解)
I.三角形的等积变形
等底等高的三角形面积相等。
底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等。
定理三:
若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
定理四:
梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。
定理五:
梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。
定理六:
中线将三角形的面积平方。
定理七:
若两个三角形的两边的积相等,且夹角相等或互补,那么这两个三角形的面积相等。
II.面积公式:
正方形面积:
S=a2
长方形面积:
S=ab
平形四边形面积:
S=底×
高
三角形面积:
高/2
等边三角形面积:
梯形的面积:
S=(a+b)Xh/2
III.度分秒与弧度的互化
IV.图形的变换(轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换)
轴对称和轴对称图形:
把一个图形沿着某一条直线折过来,如果它能够与另一个重合,那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。
两个图形的对应点(互相重合的点)叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴。
如果两个图形关于某直线对称,那么对应点的连线被对称轴垂直平分。
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么交点在对称轴上。
中心对称和中心对称图形:
把一个图形绕着一个点旋转180度后,它和另一个图形重合,那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形,这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。
平移变换:
一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。
平移后的图形与原图形全等,即对应边、对应角都相等。
V.图形面积的巧算
1.周长公式:
2.
体积公式:
7.基本元素
I.线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线
II.三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。
三角形中位线性质:
中位线平行于底边且等于底边长的一半。
三角形的不等关系:
两边之和大于第三边,两边之差(大减小)小于第三边。
这条性质也是判断三角形成立的依据。
等腰三角形性质:
两腰相等,底角相等。
平行四边形性质:
对边相等且平行,对角相等,邻角互补,对角线互相平分。
梯形性质:
两底平行,上、下两邻角互补。
勾股定理:
两直角边的平方和等于斜边的平方。
(在RtΔ中,a2+b2=c2)
直角三角形性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么该角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形的性质:
在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半。
角平分线定理:
角平分线上的点到该角两边的距离相等。
中垂线定理:
中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。
比例的四大性质
比例的基本性质:
两内项之积等于两外项之积。
如果a:
b=c:
d,则bc=ad
了解比例中项。
1.圆
基本元素:
圆周角、弦切角、直径、半径、弦、周长、弧、拱形、圆心角、公切线、优弧、劣弧、半圆
五心:
外心、内心、垂心、中心、旁心
直径所对的圆周角为直角。
同弦所对的圆心角等于圆周角的两倍。
9.排列组合
1.乘法原理
一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,….,做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事一共有
N=m1×
m2×
…×
mn
种不同的方法。
2.加法原理
一般地,如果完成一件事有K类方法,第一类方法中有m1种不同方法,第二类方法中有m2种不同的方法,…..,第K类方法中有mk种不同的方法,则完成这件事共有
N=m1+m2+….+mk种不同的方法。
3.排列
一般地,从n个不同的元素中任取m个元素(m≤n),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。
一般地,从n个不同的元素中任取m个元素(m≤n)的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数,我们把它叫做Pnm.
4.组合
一般地,从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次
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- 速算