北师大版数学六年级知识点整理.doc
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第一单元圆
圆概念总结
1.圆的定义:
平面上的一种曲线图形。
2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
例:
圆是平面上的一种( 曲线 )图形,将一张圆形纸片至少对折( 两 )次可以得到这个圆的圆心。
3.半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
例:
要画一个周长是31.4厘米的圆,圆规两角之间的距离是( 5)厘米。
4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
例:
( 半径)决定圆的大小;( 圆心 )决定圆的位置。
5.直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
例:
圆中最长的线段是圆的(直径)。
6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。
例:
圆有(无数)条半径,(无数)条直径,(无数)条对称轴。
8.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。
用字母表示为:
d=2rr=d
用文字表示为:
半径=直径÷2直径=半径×2
例:
画一个直径4厘米的圆,那么圆规两脚间的距离应该是( 2 )厘米。
9.圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时,取3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
例:
圆的周长是它的直径的( 3 )倍多一些,这个倍数是一个固定的数,我们把它叫( 圆周率 ),常用字母( π )表示。
它是一个( 无限不循环 )小数,取两位小数是( 3.14 )。
11.圆的周长公式:
C=πd或C=2r
圆周长=×直径圆周长=×半径×2
例:
一个圆形养鱼池,直径是4米,这个鱼池的周长是多少米?
解:
C=πd=4米×π=4π米
答:
这个鱼池的周长是4π米。
12.圆的面积:
圆所占面积的大小叫圆的面积。
13.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母(r)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=r×r。
圆的面积公式:
S=r²。
例:
把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似于长方形。
长方形的长相当于圆( 周长的一半 ),宽相当于圆的( 半径 ),所以圆的面积S=( r² )。
14.圆的面积公式:
S=r² 或者S=(d2)²或者S=(C2)²
例:
一个半圆形池塘,它的直径是4米,求它的面积。
解:
S=(d2)²÷2
=2π㎡
答:
面积是2π平方米
15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
例:
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆的面积是(4π)。
16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
例:
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆,圆的面积是( 6.25π )平方厘米。
17.一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R²-r² 或 S=(R²-r²)。
(其中R=r+环的宽度.)
例:
在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路,石子路的面积是多少?
解:
r=2米÷2=1米R=1米+1米=2米
S=R²-r²
=(2²-1²)㎡
=3π㎡
答:
石子路的面积是3π㎡。
18.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式:
C=d2+d 或 C=r+2r
圆周长的一半=r
例:
半圆的周长就是用圆的周长除以2。
( ×)
19.半圆面积=圆的面积2 公式为:
S=r²2
例:
一个半径为20米的舞台,面积是多少?
解:
S=πr²÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答:
舞台的面积是200π㎡。
20.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例:
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大(4)倍,而面积扩大(16)倍。
21.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。
例如:
两个圆的半径比是2:
3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:
3,而面积比是4:
9。
22.圆周长和直径的比是:
1,比值是;
圆周长和半径的比是2:
1,比值是2;
例:
已知一个圆形跑到的周长是1256米,求该圆的直径和半径。
解:
d=c÷π=1256÷3.14=400米
r=c÷2π=200米
答:
圆的直径和周长分别是400米和200米。
23.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2a厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加a厘米。
例:
一个半径为3米的圆,半径增加1米,周长增加多少米?
解:
C1=2πr=6π米
C2=2πr=8π米
增加量:
C2-C1=8π-6π=2π米
答:
周长增加了2π米。
24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几。
25.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小。
26.扇形弧长公式:
扇形的面积公式:
S=r²(n为扇形的圆心角度数,r为扇形所在圆的半径)
例:
一个圆心角是90°的扇形,半径是4厘米,面积是多少?
解:
90°÷360°×πr²=4π平方厘米
答:
面积是4π平方厘米。
27.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28.有一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是:
长方形
有3条对称轴的图形是:
等边三角形
有4条对称轴的图形是:
正方形
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环。
29.直径所在的直线是圆的对称轴。
例:
圆是( 轴对称)图形,有(无数)条对称轴。
半圆有
(1)条对称轴。
第二单元 百分数应用题
(一)百分数的基本概念
1.百分数的定义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。
2.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
例如:
25%的意义:
表示一个数是另一个数的25%。
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
例:
初一八班有54人,某次体育测试,54人达标,那么初一八班体育达标率是多少?
解:
54÷54×100%=100%
答:
体育达标率为100%。
4.小数与百分数互化的规则:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
5.百分数与分数互化的规则:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数;
把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
=(0.4)=( 40)%
(二)百分数应用题
百分数应用题
(一)
求增加百分之几?
减少百分之几?
公式:
增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例:
1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1;
先确定单位1是水,已经知道是45;增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤:
第一步:
单位1:
水:
45立方厘米
第二步:
增加的部分:
50—45=5立方厘米
第三步:
增加百分之几:
5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题
(二)
比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。
例1、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年已经知道用乘法,增加用(1+25%)
算式:
80×(1+25%)
2、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年已经知道用乘法,减少用(1-25%)
算式:
80×(1-25%)
3、某小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1+25%)
算式:
100÷(1+25%)
4、某小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1-25%)
算式:
100÷(1-25%)
百分数应用题(三)列方程解百分数应用题
1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天多看20页,这本书一共有多少页?
解题思路:
单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式:
(第一天)—(第二天)=20页
方法1:
解:
设这本书一共有X页。
由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用X可以表示为25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为:
25%X—20%X=20
方法2:
“第一天比第二天多看20页”可以知道20页是第一天和第二天的差。
要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:
20÷(25%—20%)
2、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,两天共看了20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:
由“两天共看了20页”可以知道(第一天)+(等二天)=20页。
方程法:
解:
设这本书共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
方程列为:
25%X+20%X=20
算术法:
由“两天共看了20页”可以知道20页是第一天和第二天的和,要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:
20÷(25%+20%)
3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:
(一本书)—(第一天)—(第二天)=20页
方程法:
解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
列方程为:
X—25%X—20%X=20
算术法:
20÷(1-25%-20%)
4、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天比第一天多看10页,还剩20页,这本书一共有多少页?
方程法:
解:
设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为(2
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