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-∞-∞
4.什么是单位阶跃信号?
单位阶跃信号也是一类奇异信号,定义为:
⎧1t
>
⎩0
<
它可以表示单边信号,持续时间有限信号,在信号处理中起着重要的作用。
5.线性时不变系统的意义
同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统,称为线性时不变系统。
即:
如果一个
系统,当输入信号分别为
x1(t)
和
x2
(t)
时,输出信号分别是
y1(t)
y2
。
当输入信号
x(t)
是
的线性叠加,即:
ax1(t)
+
bx2
,其中
a
b
是任意常数时,
输出信号
y(t)
ay1(t)
by2
;
且当输入信号
出现延时,即输入信号是
x(t
-
t0
)
时,输出信号也产生同样的延时,
即输出信号是
y(t
其中,如果当
时,
,则称系统具有叠加性;
如果当
则称系统具有均匀性。
线性时不变系统是最基本的一类系统,是研究复杂系统,如非线性、时变系统的基础。
6.线性时不变系统的意义与应用?
线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象,对线性时不变性进行推广,可以
得到线性时不变系统具有微分与积分性质,假设系统的输入与输出信号分别为
,
则
当输入信号为
dx(t)
dt
时,输出信号则为
dy(t)
或者当输入信号为
⎰
x(τ
)dτ
时,输出信号则为
⎰y(τ
若
|
h(t)
|dt
∞
,
则此系统为稳定系统。
tt
另外,线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应(或单位脉冲响应)、系统函
数或频率响应进行描述。
而且多个系统可以以不同的方式进行连接,基本的连接方式为:
级
联和并联。
假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为:
h1(t)
h2
当两个系统级联后,整个系统的冲激响应为:
*
当两个系统并联后,整个系统的冲激响应为:
当
0
时,若
则此系统为因果系统;
∞
-∞
第二章连续时间系统的时域分析
1.如何获得系统的数学模型?
数学模型是实际系统分析的一种重要手段,广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。
不同的系统,其数学模型可能具有不同的形式和特点。
对于线性时不变系统,其数学模
型通常由两种形式:
建立输入-输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的若干个
方程组成的方程组(状态方程)。
对于本课程研究较多的电类系统而言,建立系统数学模型主要依据两个约束特性:
元件
特性约束和网络拓扑约束。
一般地,对于线性时不变连续时间系统,其输入-输出方程是一
个高阶线性常系数微分方程,而状态方程则是一阶常系数微分方程组。
在本章里,主要讨论
系统的输入-输出方程。
2.系统的起始状态和初始状态的关系?
起始状态:
通常又称
0-
状态,它是指系统在激励信号加入之前的状态,包含了全部“过
去”的信息(一般地,我们认为激励信号都是在零时刻加入系统的)。
初始状态:
0+
状态,它是指系统在激励信号加入之后的状态。
起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。
一般用电容器上的电压
vc
(0-
和电感中的
电流
iL
来表示电路的储能情况。
若电路的输入信号中没有冲激电流或阶跃电压,则
时
刻状态转换时有:
(0+
和
3.零输入响应和零状态响应的含义?
零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。
如果系统无
外加输入信号(即输入信号为零)时,由起始状态所产生的响应(也可以看作为由起始状态
等效的电压源或电流源----等效输入信号所产生的响应),称为零输入响应,一般用
yzi
表示;
如果系统起始无储能,系统的响应只由外加信号所产生,称为零状态响应,
一
般用
yzs
表示。
根据等效原理,系统的起始储能也可以等效为输入信号,根据系统的线性性质,系统的
响应就是零输入响应与零状态响应之和。
4.冲激响应与阶跃响应的关系和意义?
反之,系统是不稳定的。
根据
u(t)
⎰δ(τ
有
g(t)
h(τ
)dτ
冲激响应与阶跃响应都属于零状态响应,而且分别是特殊激励条件下的零状态响应。
冲激响应:
是系统在单位冲激信号
δ
激励下的零状态响应。
对线性时不变系统,一般
用
表示,而且利用
可以确定系统的因果性和稳定性。
反之,系统是非因果的。
阶跃响应:
是系统在单位阶跃信号
或:
=
du(t)
,有
dg(t)
⎰
5.卷积积分的意义?
卷积积分定义为:
+∞
)h(t
-τ
即
)dτ。
其意义在于:
将信号分解为冲激信号之和,借助系统的冲激响应
,求解线性时不变
系统对任意激励信号的零状态响应
在数学计算时,一般分为
5
个步骤:
Step1:
变量代换, 将给定信号的自变量
转换为τ
→
),
)
Step2:
反褶,把两个参与卷积运算的信号中的一个信号反褶;
h(-τ
Step3:
平移,把反褶后的信号沿横轴(时间轴)τ
位移
h(t
Step4:
乘积,把变换后的两信号相乘;
Step5:
积分,根据位移不同导致的信号乘积的不同结果,在非零区间进行积分运算;
t2
t1
fT
a0
∑
(an
cos
nω1t
bn
sin
c0
cn
cos(nω1t
+ϕn
第三章傅里叶变换分析
1.什么是频谱?
如何得到信号的频谱?
目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式,比如正弦信号的幅度
随着时间按正弦函数的规律变化;
另一方面,对于正弦信号,如果知道其振幅、频率和相位,
则正弦信号的波形也惟一确定。
根据这个原理和傅里叶级数理论,满足一定条件的周期信号
都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合,从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频
率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示,随着对信号研究的深入,
我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示,即通常的傅里叶变换。
对于周期信号,其频谱一般用傅里叶级数表示,而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱:
n=1n=1
Fe
或
其中:
n=-∞
n
jnω1t
Fn
1
T
jnω
t
T
n
0,
±
1,
2,...,
1
2
2,...∞
F0
a0
对于非周期信号,其频谱一般用傅里叶变换表示:
1∞
F
jω)e
jωt
dω
jω
f
(t)e-
2.周期信号和非周期信号的频谱有何不同?
周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示,它是离散的、非周期的和收敛的。
而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示,它是连续的、非周期的和收敛的。
若假设周期
⎧
信号为
非周期信号为
f0
⎨
⎪⎩
2
,并假设周期信号
的傅里叶级
otherwise
数的系数为
,非周期信号
的傅里叶变换为
jω)
,则有如下的关系:
ω=
3.吉伯斯现象是如何产生的?
当周期信号存在不连续点时,如果用傅里叶级数逼近,则不论用多少项傅里叶级数,只
要不是所有项,则在不连续点必然有起伏,且其起伏的最大值将趋近于一个常数,大约等于
不连续点跳变值的
8.95%,
我们称这种现象为吉伯斯现象。
4.傅里叶变换的对称性如何应用?
傅里叶变换的对称性是指:
↔
=|
e
jϕ
(ω)
(-t)
(-
(-ω)
e-
(-ω)
从而应用傅里叶变换的线性性质:
实信号的傅里叶变换具有共轭对称性,即实信号的幅度谱具有偶函数的特点,而相位谱
具有奇函数的特点。
实际中我们应用的基本都是实信号和实系统,因而在频域分析时基本
上都用到这一特性。
某实系统的频响特性是:
H
e
jϕh
输入的是实信号,具有频谱:
X
jϕx
从而输出的也是实信号,且频谱为:
Y
||
j[ϕh
(ω)+ϕx
(ω)]
5.傅里叶变换的对偶性有何意义?
傅里叶变换的对偶性建立了信号的时域表示波形和频域表示波形之间的对偶特点,即信
号的表示形式不论是哪一种,在对信号的信息表示方面是等价的。
利用傅里叶变换的对偶性
可以很方便地求解某些信号的傅里叶逆变换。
6.傅里叶变换的微分积分特性应用有何条件?
傅里叶变换的微分积分特性有两个方面,即时域的微分积分特性和频域的微分积分特性;
根据傅里叶变换的对偶性,两类的条件也具
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