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五投资组合理论
第五章投资组合理论
投资组合理论是由马柯维茨提出的,他在1952年发表的论文“资产选择:
投资的有效分散化”中提出了均值-方差模型,这是现代投资组合理论的开端,同时也使金融投资学开始摆脱以往纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状况,数量化的方法从此开始进入金融投资领域。
此后,在投资组合理论的基础上,马柯维茨的学生夏普(1964)和另外两位学者林特纳(1965)及莫辛(1966)分别独立推导出资本资产定价模型(CAPM),这一模型是现代金融投资学完善和发展过程中最重要的里程碑,第一次使人们可以量化市场的风险,并且能够对资产进行具体的定价。
1976年,罗斯基于多因素模型,提出了一个替代CAPM的理论——套利定价理论(APT)。
本章将主要介绍马柯维茨的投资组合理论,在后面章节再详细介绍CAPM和APT等定价理论。
5.1投资者的风险偏好分析
5.1.1风险与风险厌恶
在一般的投资分析中,我们都假设投资者是风险厌恶的。
风险是对投资者预期收益的背离,或者说是收益的不确定性。
在投资活动中,投资者投入的本金是当前行为,数额是确定的,目的是希望获得预期的收益,但在持有投资资产的时间内,有很多因素可能使预期收益减少甚至使本金遭受损失,而且相隔时间越长,预期收益的不确定性越大。
大量事实证明,投资者普遍是风险厌恶的,即人们在投资决策时,总是希望预期收益越大越好,而风险越小越好,即会选择预期收益更大,而风险更小的投资,在预期收益相同时,会选择风险较小的投资,或在风险相同时,会选择预期收益较大的投资,但如果预期收益和风险都要高,如下图所示,i资产的承担了较高的风险也获得了较高的预期收益。
此时投资决策就取决于投资者的风险偏好,即收益率的增加能否弥补投资者个人对风险补偿的要求。
如果投资者A认为增加的预期收益率恰好能补偿增加的风险,即i与j两种资产的满意程度相同,则两种资产是无差异的;如果投资者B认为增加的预期收益率不足以补偿增加的风险,则j令他更满意,即j比i好;如果投资者C认为增加的预期收益率超过了增加风险的补偿,i比j更令人满意,即i比j好。
实际上,在风险相同的情况下,投资者要求的预期收益率补偿越高,表明该投资者对风险约厌恶。
在上述三位投资者中,B对风险厌恶的程度最高,最保守,A次之,而C的风险厌恶程度最低,最具冒险精神。
5.1.2投资者的无差异曲线
一个特定的投资者,任意给定一个资产,根据他对风险的态度,按照预期收益率对风险补偿的要求,可以得到一系列满意程度相同的证券或组合。
如下图所示,某投资者认为经过j的那一条曲线上所有资产或组合对他的满意程度相同,这条曲线就称为该投资者的一条无差异曲线。
根据无差异曲线,任何资产或组合均可与资产j进行比较。
在图中,对该投资者而言,资产i与j无差异,无差异曲线上方的资产k比j好,而无差异曲线下方的资产l比j坏。
无差异曲线
同样,也有一系列资产或组合与k和l无差异,从而形成经过k和l的无差异曲线。
实际上,任何一个资产或组合都将落在某一条无差异曲线上,而落在不同的无差异曲线上则有
无差异曲线族
不同的满意程度。
一个资产或组合不会同时落在两条不同的无差异曲线上,即两条无差异曲线不会相交。
此外,无差异曲线的位置越高,所带来的满意程度也越高。
对于一个特定的投资者而言,所有的无差异曲线形成一个曲线族,称为该投资者的无差异曲线族。
无差异曲线的数量是无限的,而且将密布整个平面。
对于风险回避者而言,投资者的无差异曲线具有以下特点:
1)向右上方倾斜,表明收益与风险之间是正相关的;2)凸向坐标轴,表明投资者边际风险的收益替代率递增,或边际收益的风险替代率递减;3)在同一坐标轴平面不能相交;4)充满整个坐标平面,表明无差异曲线系统是对投资者满足程度或效用的完全反映;5)左上方的无差异曲线比右下方的无差异曲线给投资者带来的满足程度或效用更大。
5.1.3风险厌恶程度与无差异曲线
一般情况下,无差异曲线越陡峭表明风险越大,投资者要求的边际收益补偿也越大,但不同投资者厌恶风险的程度不同,也就有着不同的无差异曲线族。
下图表示了高风险厌恶者、中等风险厌恶者、轻微风险厌恶者的无差异曲线族。
高度风险厌恶者中等风险厌恶者轻微风险厌恶者
在某些极端的情况下,有些投资者只关心风险,风险越小越好,对预期收益毫不在意,这类投资者的无差异曲线是一族直线,而另一类投资者对风险毫不在意,只关心预期收益,收益越高越好,这类投资者的无差异曲线是一族水平线。
只关心风险的投资者只关心预期收益的投资者
5.1.4风险厌恶与效用价值
风险厌恶型的投资者会放弃公平博弈或更糟的投资组合,他们更愿意考虑无风险资产或正风险溢价的投机性投资。
在众多风险大小不同的投资组合中进行选择会面临一些问题,如下面的例子所示。
假定无风险利率为5%,投资者面对的三种不同投资组合的风险溢价、期望收益和标准差如下表所示。
表中投资组合的风险溢价和风险程度分别用来表示低风险债券(L)、中等风险债券(M)和高风险债券(H)的特征。
相应的,这些投资组合提供了高的风险溢价来补偿高的风险。
在这三者中投资者会如何选择呢?
投资组合
风险溢价(%)
期望收益(%)
风险(SD)(%)
低风险债券(L)
2
7
5
中等风险债券(M)
4
9
10
高风险债券(H)
8
13
20
为许多金融理论者和CFA机构采用的投资组合的效用评价方法如下,如果期望收益为E(r),收益标准差为σ,效用值为:
其中U表示效用值,A为投资者的风险厌恶系数。
根据这一公式,效用会随着期望收益的增加和风险的减少而增长,无风险的投资组合的效用值等于其收益率。
效用的程度取决于投资者的风险厌恶系数,投资者对风险厌恶程度越高,对有风险的投资就越谨慎。
给定三个投资者,风险厌恶程度分别为2、3.5和5,都对上表中的投资组合进行评估,结果如下,表中每个投资者赋予最高效用值的投资组合用黑体表示。
注意到最高风险的投资组合只被风险厌恶程度最低(为2)的投资者所选择,但最低风险的投资者组合L被拥有最高风险厌恶系统的投资者忽略了。
投资者风险厌恶系数A
投资组合L的效用值
投资组合M的效用值
投资组合H的效用值
E(r)=0.07,σ=0.05
E(r)=0.09,σ=0.10
E(r)=0.13,σ=0.20
2
0.07-1/2×2×0.052=0.0675
0.09-1/2×2×0.12=0.0800
0.13-1/2×2×0.22=0.09
3.5
0.07-1/2×3.5×0.052=0.0656
0.09-1/2×3.5×0.12=0.0725
0.13-1/2×3.5×0.22=0.06
5
0.07-1/2×5×0.052=0.0638
0.09-1/2×5×0.12=0.0650
0.13-1/2×5×0.22=0.03
风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论
风险厌恶作为投资决策中心观点的看法至少可追溯到1783年。
著名数学家丹尼尔·伯努利于1725~1733年在圣彼得堡研究了下面的投币游戏。
首先,参加这个游戏要先付门票,然后抛硬币直到第一个正面出现时为止。
在此之前,反面出现的次数用n表示,用来计算参加者的赔付中奖R。
对于参加者有:
。
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率(n=0)是1/2,相应的报酬为20=1美元。
出现一次反面才出现正面的概率(n=1)是1/2×1/2,报酬为21=2美元,出现两次反面才出现正面的概率(n=2)是1/2×1/2×1/2,依次类推,各种结果的概率与报酬如下表。
反面
概率
报酬
概率×报酬
0
1/2
1
1/2
1
1/4
2
1/2
2
1/8
4
1/2
3
1/16
8
1/2
…
…
…
…
n
(1/2)n+1
2n
1/2
所以,预期报酬为:
该游戏就是所谓的圣彼得堡悖论。
尽管期望报酬是无限的,但显然参加者是愿意用有限价格买票玩这个游戏的,而且买票可能是相当合适的,只是入门费而已。
伯努利从效用的角度解决了悖论问题,他发现投资者对所有报酬的每个美元赋予的价值是不同的。
特别是,他们的财富越多,对每个额外增加的美元赋予的评价价值就越少。
可以用数学方法精确的给拥有各种财富水平的投资者一个福利值或效用值。
随着财富的增加效用函数值也相应增大,但是财富每增加1美元所增加的效用逐渐减少(即边际效用递减)。
一个特殊的函数ln(R)分配给报酬为R美元的投资者一个主观的价值,报酬越多,每个美元的价值就越小。
如果以这个函数衡量财富的效用值,那么这个游戏的主观效用值确实是有限的,等于0.693,即:
获得该效用值所必须的财富为2美元,因为ln
(2)=0.693,因此风险报酬的确定等价物为2美元,也是投资者愿意为游戏付出的最高价钱。
评估自己的风险容忍度
1、在你将资金投资60天之后,其价格下跌了20%。
假设其他情况都不变,你会怎么做?
A卖掉,以避免更大的担忧,并再试试其他项目
B什么也不做,等待投资收回
C继续买入。
这正是投资的好机会,同时现在它也是便宜的投资。
2、现在换个角度看上面的问题。
你的投资下跌了20%,但它是投资组合的一部分,用来在三个不同的时间段上达到投资目标。
1)如果投资目标是5年以后,你怎么做?
A抛出 B什么也不做 C继续买入
2)如果投资目标是15年以后,你怎么做?
A抛出 B什么也不做 C继续买入
3)如果投资目标是30年以后,你怎么做?
A抛出 B什么也不做 C继续买入
3、你的退休基金在买入一个月后,价格上涨了25%,而且基本条件没有变化。
在你心满意足之后,你会怎么做?
A抛出,锁定你的收入
B保持卖方期权并期待更高的收益
C继续买入,它可能还会上涨
4、你投资了养老保险,投资期限在15年以上。
你更愿意怎么做?
A投资于货币市场基金或保证收益的投资合约,放弃可能得到的主要资本利得,重点保证本金的安全
B一半投入债券基金,一半投入股票基金,希望在有些增长的同时,也能使自己拥有固定收入的保障
C投资于激进型的共同基金,它的价值在年内可能会有大幅波动,但在5年或10年后有巨额收益的潜力
5、你刚刚中得一个大奖!
但具体哪一个,由你自己定。
A2000元现金
B50%的机会获得5000元
C20%的机会获得15000元
6、一个很好的投资机会来临,但是你必须借款,你会接受贷款吗?
A绝对不会 B也许会 C会的
7、你所在的公司要把股票卖给员工,公司管理层计划在三年后使公司上市,在上市之前,你不能出售手中股票,也没有任何分红,但公司上市时,你的投资可能会翻10倍,你会投资多少钱买股票?
A一点儿也不买 B两个月的工资 C四个月的工资
选A计1分,选B计2分,选C计3分,计算你的总分。
5.2资产的关联性与风险分散
投资组合的业绩取决于组合中各项资产的收益,分散投资后的收益就是各项资产收益的加权平均,但投资组合的风险则更复杂,并不是各项资产的加权平均,而取决于两个因素:
一是单个资产的风险,二是不同资产之间的联动性。
5.2.1相关系数
在统计学中,衡量资产收益之间联动性的一种方法是相关系数,可用来衡量任意两种资产收益之间的关系程度。
相关系数是一个取值范围在-1~1、度量相关性的指标。
相关系数为1时表示完全正相关,相关系数为-1时表示完全负相关,相关系数为0表示零相关(或相互独立)。
1、完全正相关
在完全正相关时,收益之间是完全的直线相关关系。
投资者知道其中一种资产的收益就可以完全预测另一种资产的收益。
在下表中,
- 配套讲稿:
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