9 433 余角和补角Word格式.docx
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26″= 90°
(3)10°
+25°
+55°
(4)96°
+84°
= 180°
(5)58°
45'
+121°
15'
.
学生计算并回答,总结它们的特点.
通过计算复习上节课的知识,设置悬念,调动学生的积极性,更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案,同时也为判断余角和补角做铺垫.建议:
教师应关注:
(1)计算的准确性;
(2)学生是否认真观察并思考.
教材母题——教材第137页例3
如图4-3-32,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中那些角互为余角?
图4-3-32
【模型建立】
互余与互补是指两个角的关系,互余和互补的两个角,只与它们的和有关,而与其位置无关,当有关余角、补角的计算不易直接算出时,可尝试列出方程解答.
【变式变形】
1.若∠α与∠β互为余角,∠β是∠α的2倍,则∠α的度数为(B)
A.20°
B.30°
C.40°
D.60°
2.如图4-3-33,∠1和∠2都是∠α的余角,则下列关系不正确的是(D)
图4-3-33
A.∠1+∠α=90°
B.∠2+∠α=90°
C.∠1=∠2D.∠1+∠2=90°
3.如图4-3-34所示,点O在直线l上,∠1与∠2互余,∠α=116°
则∠β的度数是(C)
图4-3-34
A.144°
B.164°
C.154°
D.150°
4.如图4-3-35,AB,CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON是直角,∠AOC=∠BOD=50°
(1)求∠AON的度数;
(2)求∠CON的度数.
图4-3-35
解:
(1)因为OM平分∠BOD,∠BOD=50°
所以∠BOM=∠DOM=25°
又因为∠MON=90°
所以∠AON=180°
-(∠MON+∠BOM)=180°
-(90°
)=65°
(2)因为∠AON=65°
∠AOC=50°
所以∠CON=∠AON+∠AOC=115°
5.如图4-3-36,∠AOB与∠BOC互为补角,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠BOE=
∠EOC,∠DOE=72°
求∠EOC的度数.
图4-3-36
设∠EOB=x,则∠EOC=2x,则∠BOD=
(180°
-3x).
因为∠BOE+∠BOD=∠DOE,所以x+
-3x)=72°
解得x=36°
故∠EOC=2x=72°
[命题角度1]直接运用余角与补角的概念求角的度数
在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算.注意互余的两个角都是锐角,互补的两个角可能是一个锐角和一个钝角;
也可能两个角都是直角.
例 求35°
42'
角的余角和补角的度数.
其余角的度数为90°
-35°
=54°
18'
;
其补角的度数为180°
=144°
[命题角度2]根据余角、补角的性质解决问题
余角、补角的性质:
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.这个性质也为说明两个角相等提供了思路.认真观察分析图形,挖掘出图形中隐含的数量关系是关键.
例1 已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,如果∠1=∠3,那么∠2与∠4有什么关系?
说说理由.
由∠1与∠2互补,∠3和∠4互补,得∠1+∠2=180°
∠3+∠4=180°
.又∠1=∠3,根据等角的补角相等,可知∠2=∠4.
例2 如图4-3-37,点E,O,A在同一直线上,∠AOB=∠COD=90°
那么图中与∠AOD互补的角为 ∠DOE,∠BOC .
图4-3-37
[解析]因为∠DOE+∠AOD=180°
所以∠DOE与∠AOD互为补角.根据∠AOB=∠COD=∠BOE=90°
可得出∠DOE=∠BOC,所以∠BOC+∠AOD=180°
所以∠BOC与∠AOD互为补角.这样,∠AOD的补角有两个,分别是∠DOE,∠BOC.
[命题角度3]用角度表示方向
方位角是以南北方向为起始方向,一般是以北偏东,南偏西等加上角度来表示的.特殊的方位角如下:
方向
图例
射线
描述
东北
OA
以正北方向的射线为始边,向东旋转45°
西北
OB
以正北方向的射线为始边,向西旋转45°
东南
OC
以正南方向的射线为始边,向东旋转45°
西南
OD
以正南方向的射线为始边,向西旋转45°
例 如图4-3-38,OA表示什么方向的一条射线?
并画出表示下列方向的射线.
图4-3-38
(1)北偏西60°
(2)南偏东30°
(3)西南方向.
[答案:
OA表示北偏东30°
的射线
(1)射线OB
(2)射线OC (3)射线OD(如图4-3-39所示)]
图4-3-39
P138练习
1.图中给出的各角中,哪些互为余角?
哪些互为补角?
[答案]10°
与80°
互为余角;
30°
与60°
10°
与170°
互为补角;
与150°
60°
与120°
80°
与100°
互为补角.
2.一个角是70°
39′,求它的余角和补角.
[答案]余角:
90°
-70°
39′=19°
21′,补角:
180°
39′=109°
21′.
3.∠α的补角是它的3倍,∠α是多少度?
[答案]设这个角为x°
,则它的补角为180°
-x°
.根据题意,得3x=180-x,解这个方程,得x=45.所以∠α=45°
4.一个角是钝角,它的一半是什么角?
[答案]锐角.
P139习题4.3
复习巩固
1.如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置,那么时针旋转出一个平角及一个周角,至少各需要多长时间?
[答案]6小时,12小时.
2.凭你的感觉画出30°
,45°
,90°
,120°
,135°
的角,再用量角器量一量,你画的准确度如何?
[答案]略.
3.计算:
(1)48°
39′+67°
31′;
(2)21°
17′×
5.
[答案]
(1)116°
10′;
(2)106°
25′.
4.如果∠1=∠2,∠2=∠3,则∠1________∠3;
如果∠1>
∠2,∠2>
∠3,则∠1________∠3.
[答案]= >
5.如图,BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且∠DBC=∠ECB=31°
,求∠ABC和∠ACB的度数,它们相等吗?
[答案]∠ABC=2∠DBC=2×
31°
=62°
,∠ACB=2∠ECB=2×
.所以∠ABC=∠ACB.
6.按图填空:
(1)∠AOB+∠BOC=________;
(2)∠AOC+∠COD=________;
(3)∠BOD-∠COD=________;
(4)∠AOD-________=∠AOB.
[答案]
(1)∠AOC;
(2)∠AOD;
(3)∠BOC;
(4)∠BOD.
7.如图,要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数,但人不能进入围墙,如何测量?
[答案]延长AO或BO,先量出∠AOB的补角的度数,再计算出∠AOB的度数.
8.按照上北下南,左西右东的规定画出表示东南西北的十字线,然后在图上画出表示下列方向的射线:
(1)北偏西30°
;
(2)南偏东60°
(3)北偏东15°
(4)西南方向(南偏西45°
).
[答案]
(1)如图所示,射线OA表示北偏西30°
(2)如图所示,射线OB表示南偏东60°
(3)如图所示,射线OC表示北偏东15°
(4)如图所示,射线OD表示西南方向.
综合运用
9.如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)如果∠AOB=40°
,∠DOE=30°
,那么∠BOD是多少度?
(2)如果∠AOE=140°
,∠COD=30°
,那么∠AOB是多少度?
[答案]
(1)∠BOD=70°
(2)∠AOB=40°
10.如图,一个齿轮有15个齿,每相邻两齿中心线间的夹角都相等,这个夹角是多少度?
如果是22个齿的齿轮,这个夹角又是多少度(精确到分)?
[答案]360°
÷
15=24°
360°
22≈16°
22′.
答:
齿轮有15个齿时,相邻两齿中心线间的夹角为24°
有22个齿时,其夹角约为16°
11.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,在哪种摆放方式中∠α与∠β互余?
在哪种摆放方式中∠α与∠β互补?
在哪种摆放方式中∠α与∠β相等?
[答案]在
(1)中∠α与∠β互余;
在
(2)(3)中∠α与∠β相等;
在(4)中∠α与∠β互补.
12.如图,A地和B地都是海上观测站,从A地发现它的北偏东60°
方向有一艘船,同时,从B地发现这艘船在它北偏东30°
方向.试在图中确定这艘船的位置.
[答案]如图所示,图中O点即为这艘船的位置.
13.
(1)互余且相等的两个角,各是多少度?
(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度?
[答案]
(1)都是45°
(2)90°
拓广探索
14.画几个不同的四边形,使每个四边形中都有30°
,105°
的角,量一量这些四边形中另一个角的度数,你能发现什么规律?
[答案]图略,每一个四边形的另一个角都等于135°
规律:
四边形的四个内角的和为360°
15.
(1)图
(1)中,射线AD,BE,CF构成∠1,∠2,∠3,量出∠1,∠2,∠3,并计算∠1+∠2+∠3.画出几个类似的图,计算相应的三个角的和,你有什么发现?
(2)类似地,量出图
(2)中∠1,∠2,∠3,∠4,计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图试试,你有什么发现?
综合
(1)
(2)的发现,你还能进一步得到什么猜想?
[答案]
(1)∠1+∠2+∠3=360°
.发现:
无论是怎样的三角形,与每个内角相邻的三个外角的和都为360°
(2)∠1+∠2+∠3+∠4=360°
,发现:
无论是怎样的四边形,与每个内角相邻的四个外角的和都为360°
综合
(1)
(2)发现,多边形的外角和都为360°
[当堂检测]
1.下列说法:
(1)互余的两个角都是锐角;
(2)若两角都是锐角,则这两角互余;
(3)∠A+∠B+∠C=90°
,则∠A、∠B、∠C互余;
(4)同一个锐角的
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