三角函数对称轴与对称中心Word下载.docx
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cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式
sinα·
cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·
cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos&
sup2;
α-sin&
α=2cos&
α-1=1-2sin&
α
tan(2α)=2tanα/(1-tan&
α)
cot(2α)=(cot&
α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec&
α/(1-tan&
csc(2α)=1/2*secα·
cscα
三倍角公式
sin(3α)=3sinα-4sin&
sup3;
α=4sinα·
sin(60°
+α)sin(60°
-α)
cos(3α)=4cos&
α-3cosα=4cosα·
cos(60°
+α)cos(60°
tan(3α)=(3tanα-tan&
α)/(1-3tan&
α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot&
α-3cotα)/(3cotα-1)
n倍角公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·
sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·
sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·
sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·
sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·
sin^4α-…
半角公式
sin(α/2)=±
√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±
√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±
√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±
√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±
√((2secα/(secα+1))
csc(α/2)=±
√((2secα/(secα-1))
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A&
+B&
)sin(α+arctan(B/A))
)cos(α-arctan(A/B))
万能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan&
(a/2))
cos(a)=(1-tan&
(a/2))/(1+tan&
tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan&
降幂公式
sin&
α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos&
α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan&
α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角和的三角函数
sin(α+β+γ)=sinα·
cosβ·
cosγ+cosα·
sinβ·
sinγ-sinα·
sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·
cosγ-cosα·
cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·
tanβ·
tanγ)÷
(1-tanα·
tanβ-tanβ·
tanγ-tanγ·
t
角的三角函数值
正弦
余弦
正切
余切
1
不存在
π/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
√2/2
π/3
π/2
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式
泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'
(a)/1!
*(x-a)+f'
'
(a)/2!
*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!
*(x-a)n+……
实用幂级数:
e^x=1+x+x^2/2!
+x^3/3!
+……+x^n/n!
+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<
1)
sinx=x-x^3/3!
+x^5/5!
-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!
+…….(-∞<
x<
∞)
cosx=1-x^2/2!
+x^4/4!
-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!
+……(-∞<
arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<
arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)
sinhx=x+x^3/3!
+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!
coshx=1+x^2/2!
+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!
+……(-∞<
arcsinhx=x-1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5-……(|x|<
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<
在解初等三角函数时,只需记住公式即可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等.
傅立叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dx
an=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx
三角函数的数值符号
正弦 第一,二象限为正, 第三,四象限为负
余弦 第一,四象限为正 第二,三象限为负
正切 第一,三象限为正 第二,四象限为负
编纂本段相关概念
三角形与三角函数
1、正弦定理:
在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.(其中R为外接圆的半径)
2、第一余弦定理:
三角形中任意一边即是其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理:
三角形中任何一边的平方即是其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·
cosA
4、正切定理(napier比力):
三角形中任意两边差和的比值即是对应角半角差和的正切比值,即(a-b)/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)
5、三角形中的恒等式:
对任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
三角函数图像:
界说域和值域
sin(x),cos(x)的界说域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的界说域为x不即是π/2+kπ,值域为R
cot(x)的界说域为x不即是kπ,值域为R
y=a·
sin(x)+b·
cos(x)+c的值域为[c-√(a&
+b&
),c+√(a&
)]
初等三角函数导数
三角函数图像
y=sinx---y'
=cosx
y=cosx---y'
=-sinx
y=tanx---y'
=1/cos^2x=sec^2x
y=cotx---y'
=-1/sin^2x=-csc^2x
y=secx---y'
=secxtanx
y=cscx---y'
=-cscxcotx
y=arcsinx---y'
=1/√(1-x&
)
y=arccosx---y'
=-1/√(1-x&
y=arctanx---y'
=1/(1+x&
y=arccotx---y'
=-1/(1+x&
倍半角规律
如果角a的余弦值为1/2,那么a/2的余弦值为√3/2
反三角函数
三角函数的反函数,是多值函数.它们是反正弦Arcsinx,反余弦Arccosx,反正切Arctanx,反余切Arccotx等,各自暗示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角.为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;
相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;
反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<
y<
π/2;
反余切函数y=arccotx的主值限在0<
π.
反三角函数实际上其实不能叫做函数,因为它其实不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称.其概念首先由欧拉提出,而且首先使用了arc+函数名的形式暗示反三角函数,而不是f-1(x).
反三角函数主要是三个:
y=arcsin(x),界说域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条;
y=arccos(x),界说域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;
y=arctan(x),界说域(-∞,+∞),值域(-π/2,
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