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(3)+-=++=(++)==.
一、选择题
1.如图3-1-9所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于( )
图3-1-9
A.a+b-c B.a-b+c
C.-a+b+cD.-a+b-c
【解析】 如题图=-=-(+)=b-(a+c)=-a+b-c.
2.已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A、B、DB.A、B、C
C.B、C、DD.A、C、D
【解析】 =+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,=-=-a-2b,
∴=-2,
∴与共线,又它们经过同一点B,
∴A、B、D三点共线.
3.(2013·
厦门高二检测)A、B、C不共线,对空间任意一点O,若=++,则P、A、B、C四点( )
A.不共面B.共面
C.不一定共面D.无法判断
【解析】 ∵++=1,
∴点P、A、B、C四点共面.
【答案】 B
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是( )
①(-)-;
②(+)-;
③(-)-2;
④(-)+.
A.①②B.②③
C.③④D.①④
【解析】 对于①(-)-=-=;
对于②(+)-=-=+=;
③④化简结果不为.
5.(2013·
佛山高二检测)如图3-1-10,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则( )
图3-1-10
A.++=0
B.--=0
C.+-=0
D.-+=0
【解析】 由图观察,、、平移后可以首尾相接,故有:
++=0.
二、填空题
6.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,用、、表示=________.
【解析】 =-=-(++)=--=--.
【答案】 --
7.(2013·
临沂高二期末)设e1、e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A、B、D三点共线,则k=________.
【解析】 ∵=+=(-e1-3e2)+(2e1-e2)=e1-4e2
又∵A、B、D三点共线,∴=λ,
即2e1+ke2=λ(e1-4e2)
∴∴k=-8.
【答案】 -8
8.已知两非零向量e1、e2,且e1与e2不共线,若a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是________.
①a与e1共线;
②a与e2共线;
③a与e1,e2共面.
【解析】 当λ=0时,a=μe2,故a与e2共线,同理当μ=0时,a与e1共线,由a=λe1+μe2知,a与e1、e2共面.
【答案】 ①②③
1.下列运算错误的是( )
A.(μa)·
a=μa2
B.a·
b=b·
a
C.a·
(b+c)=a·
b+a·
c
D.(a·
b)·
c=a·
(b·
c)
【解析】 由空间向量数量积的运算性质可知,A、B、C正确,D错误.
2.已知边长为2的正三角形ABC中,·
=( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
【解析】 ∵||=||=2,〈,〉=60°
,∴·
=||·
||·
cos60°
=2×
2×
=2.
3.已知向量a=-3b,则〈a,b〉=________.
【解析】 ∵a=-3b,∴a、b共线且反向,故〈a,b〉=180°
.
【答案】 180°
4.已知|a|=2,|b|=3,且a、b夹角为,c=3a+2b,d=λa-b,若c⊥d,求λ的值.
【解】 ∵|a|=2,|b|=3且〈a,b〉=.
∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,a·
b=0.
又∵c⊥d即(3a+2b)·
(λa-b)=0.
∴3λa2+(2λ-3)a·
b-2b2=0.
∴12λ-18=0,∴λ=.
1.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:
①(a·
b)c-(c·
a)b=0;
②|a|=;
③a2b=b2a;
④(3a+2b)·
(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中|a|2·
b=|b|2·
a不一定成立,④运算正确.
2.(2013·
西安高二检测)已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,由a与b的夹角〈a,b〉=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.以上都不对
【解析】 ∵a+b+c=0,∴a+b=-c,∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·
b=|c|2,∴a·
b=,∴cos〈a,b〉==.
3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·
=0,·
=0,则△BCD是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.不确定
【解析】
如图所示,设=a,=b,=c,
∵·
=(a-b)·
(c-b)
=a·
c-b·
c-a·
b+b2
=b2>
0.
同理·
>
0,·
∴∠CBD,∠BCD,∠BDC均为锐角.
4.正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E、F分别是AB、A1C1的中点,则EF的长是( )
A.2B.
C.D.
【解析】 如图,=++,且||=||=1,|AA1|=2,·
A1F=0,〈,〉=120°
,∴2=||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·
+·
)=1+4+1-1=5,∴||=5,即EF的长为.
【答案】 C
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=32;
②·
(-)=0;
③与的夹角为60°
;
④正方体的体积为|·
·
|.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】 如图所示,
(++)2=(++)2
=2=32;
(-)=·
=0;
与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°
,故与的夹角为120°
正方体的体积为||||||.综上可知,①②正确,故选B.
6.已知空间四边形ABCD,则·
=________.
【解析】 ·
=·
(-)+(-)·
+(-)·
(-)=0.
【答案】 0
吉林高二检测)已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°
,则|2a-3b|=________.
【解析】 |2a-3b|2=(2a-3b)2=4a2-12a·
b+9b2
=4×
|a|2+9×
|b|2-12×
|a|·
|b|·
=61,
∴|2a-3b|=.
【答案】
8.(2013·
蒙阴高二期末)已知|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°
,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.
【解析】 由题意知
即⇒λ2+2λ-2<
∴-1-<
λ<
-1+.
1.下列结论错误的是( )
A.三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底则这两个向量共面
C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底
D.若,,不能构成空间的一个基底,则O、A、B、C四点共面
【解析】 由基底的概念可知A、B、D正确,对于C,因为满足c=λa+μb,所以a、b、c共面,不能构成基底,故错误.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且=+m-n,则( )
A.m=,n=-
B.m=-,n=-
C.m=-,n=
D.m=,n=
【解析】 根据空间向量基本定理,有=++
∴m=,n=-.
3.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是________.
【答案】 (3,2,-1),(-2,4,2)
图3-1-28
4.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图3-1-28的空间直角坐标系,试写出E、F点的坐标.
【解】 E(2,2,1),F(0,1,0).
1.(2013·
莆田高二检测)设命题p:
a,b,c是三个非零向量;
命题q:
{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 由空间基底的概念知,p
q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.
2.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量-的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点,所以A不对,B、C都不对,由于=-,故D正确.
3.点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A.(-1,0,1),(-1,2,0)
B.(-1,0,0),(-1,2,0)
C.(-1,0,0),(-1,0,0)
D.(-1,2,0),(-1,2,0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变,纵、竖坐标都为0,在xOy面上的投影点横、纵坐标不变,竖坐标为0,故应选B.
图3-1-29
4.在空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,若=a,=b,OC=c,则等于( )
A.a+b+c
B.a+b+c
C.a+b+c
D.3a+3b+3c
【解析】 ∵G是△ABC的重心,∴==·
(+)=(+-2),
∴=+=(++)=a+b+c.
5.正方体ABCD—A′B′C′D′中,O1,O2,O3分别是AC,AB′,AD′的中点,以{1,2,3}为基底,=x1+y+z3,则x,y,z的值是( )
A.x=y=z=1 B.x=y=z=
C.x=y=z=D.x=y=z=2
【解析】 =++
=(+)+(+)+(+)
=++=++,
由空间向量的基本定理,x=y=z=1.
6.(2013·
东营高二检测)设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a与b的位置关系是________.
【解析】 ∵
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