任意角14Word格式.docx

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，－300°

，420°

，780°

的角的终边有什么关系？

答　相同.－660°

＝60°

－2×

360°

－360°

＋360°

＋2×

.

思考2　如何表示与60°

终边相同的角？

答　60°

＋k·

（k∈Z）.

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·

，k∈Z}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

类型一　象限角的判定

例1　在0°

～360°

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（1）－150°

；

（2）650°

（3）－950°

15′.

解　

（1）因为－150°

＝－360°

＋210°

，所以在0°

范围内，与－150°

角终边相同的角是210°

角，它是第三象限角.

（2）因为650°

＝360°

＋290°

范围内，与650°

角终边相同的角是290°

角，它是第四象限角.

（3）因为－950°

15′＝－3×

＋129°

45′，所以在0°

范围内，与－950°

15′角终边相同的角是129°

45′角，它是第二象限角.

反思与感悟　本题要求在0°

范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.

跟踪训练1　给出下列四个命题：

①－75°

角是第四象限角；

②225°

角是第三象限角；

③475°

角是第二象限角；

④－315°

是第一象限角，其中真命题有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案　D

解析　对于①：

如图1所示，－75°

对于②：

如图2所示，225°

对于③：

如图3所示，475°

对于④：

如图4所示，－315°

角是第一象限角.

类型二　终边相同的角的应用

例2　在与角10030°

终边相同的角中，求满足下列条件的角.

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；

（3）[360°

，720°

）的角.

解　

（1）与10030°

终边相同的角的一般形式为β＝k·

＋10030°

（k∈Z），由于－360°

＜k·

＜0°

，得－10390°

＜－10030°

，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°

（2）由0°

＜360°

，得－10030°

＜－9670°

，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°

（3）由360°

≤k·

＜720°

，得－9670°

＜－9310°

，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°

反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.

跟踪训练2　写出与α＝－1910°

终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°

≤β＜360°

的元素β写出来.

解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°

终边相同的角的集合为{β|β＝k·

－1910°

，k∈Z}.

∵－720°

，

即－720°

（k∈Z），

∴3

≤k＜6

（k∈Z）.故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×

＝－470°

k＝5时，β＝5×

＝－110°

k＝6时，β＝6×

＝250°

类型三　区域角的表示

例3　写出y＝±

x（x≥0）所夹区域（不包括边界）内的角的集合.

解　当α终边落在y＝x（x≥0）上时，角的集合为{α|α＝45°

，k∈Z}；

当α终边落在y＝－x（x≥0）上时，角的集合为{α|α＝－45°

所以，按逆时针方向旋转有集合：

S＝{α|－45°

＜α＜45°

反思与感悟　解答此类题目应先在0°

上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.

跟踪训练3　写出第一象限角的集合M.

解　第一象限角的集合表示为

M＝{β|k·

＜β＜90°

拓展　第二、三、四象限角的集合的表示法：

P＝{β|90°

＜β＜180°

N＝{β|180°

＜β＜270°

Q＝{β|270°

＜β＜360°

说明　区间角的集合的表示不唯一.

1.下列说法正确的是（　　）

A.终边相同的角一定相等

B.钝角一定是第二象限角

C.第一象限角一定不是负角

D.小于90°

的角都是锐角

答案　B

2.与600°

角终边相同的角可表示为（　　）

A.k·

＋220°

（k∈Z）

B.k·

＋240°

C.k·

＋60°

D.k·

＋260°

解析　∵600°

∴与600°

终边相同的角可表示为k·

3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°

的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°

的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A.A＝BB.B＝C

C.A＝CD.A＝D

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.

4.集合A＝{α|α＝k·

90°

－36°

，k∈Z}，B＝{β|－180°

}，则A∩B等于（　　）

A.{－36°

，54°

}

B.{－126°

，144°

C.{－126°

，－36°

D.{－126°

答案　C

解析　令－180°

＜180°

，则－144°

＜216°

，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°

，故选C.

5.若角α满足180°

<

α<

，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

答案　270°

解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°

的整数倍，即5α－α＝4α＝k·

（k∈Z）.又180°

，所以2<

k<

4，又k∈Z，所以k＝3，所以α＝270°

1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.

2.关于终边相同的角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·

，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

注意：

（1）α为任意角；

（2）k·

与α之间是“＋”号，k·

－α可理解为k·

＋（－α）；

（3）相等的角终边一定相同；

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°

的整数倍；

（4）k∈Z这一条件不能少.

　一、选择题

1.把－1485°

化成k·

＋α（0°

≤α＜360°

，k∈Z）的形式是（　　）

A.315°

－5×

B.45°

－4×

C.－315°

D.－45°

－10×

180°

答案　A

解析　可以估算－1485°

介于－5×

与－4×

之间.∵0°

∴k＝－5，则α＝315°

2.－435°

角的终边所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析　－435°

－75°

是第四象限角，∴－435°

为第四象限角.

3.与405°

角终边相同的角是（　　）

－45°

，k∈ZB.k·

，k∈Z

＋45°

，k∈ZD.k·

解析　∵405°

∴与405°

终边相同的角是k·

，k∈Z.

4.若α＝45°

（k∈Z），则α的终边在（　　）

A.第一或第三象限B.第二或第三象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

解析　当k＝2n，n∈Z时，α＝45°

＋n·

，终边在第一象限.

当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝225°

，终边在第三象限.

5.若α是第四象限角，则180°

－α是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析　可以给α赋一特殊值－60°

则180°

－α＝240°

，故180°

－α是第三象限角.

6.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是（　　）

A.第一象限角B.第一、二象限角

C.第一、三象限角D.第一、四象限角

解析　由题意知k·

2α<

（k∈Z），故k·

（k∈Z），按照k的奇偶性进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，n·

（n∈Z），∴α在第一象限；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°

270°

（n∈Z），∴α在第三象限.故α在第一或第三象限.

二、填空题

7.与2013°

角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.

答案　213°

　－147°

解析　与2013°

角的终边相同的角为2013°

（k∈Z）.当k＝－5时，213°

为最小正角；

当k＝－6时，－147°

为绝对值最小的角.

8.已知α∈（0°

，360°

），α的终边与－60°

角的终边关于x轴对称，则α＝________.

答案　60°

9.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°

，则β＝________.

答案　150°

解析　∵30°

与150°

的终边关于y轴对称，

∴β的