圆 第一课 圆的对称性 圆心角Word下载.docx
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设d为点到圆心的距离,r为半径,则
当点在圆外时,d>
r;
反过来,当d>
r时,点在圆外;
当点在圆上时,;
反过来,当时,点在圆上;
当点在圆内时,;
反过来,当时,点在圆内。
【例1】填空:
①到定点O的距离为2cm的点的集合是以
为圆心,
为半径的圆。
②正方形的四个顶点在以
为圆心,
以
为半径的圆上。
【例2】如图,是一个圆形靶的示意图,O为中心,小明向上面投了5枝镖,它们分别落到了A,B,C,D,E点。
由图可以看出:
点在⊙O内。
点在⊙O上。
点在⊙O外。
【例3】已知:
如图,OA、OB、OC是⊙O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M、N分别为OA、OB的中点.求证:
MC=NC.
同步训练:
(学生做)
1.已知⊙O半径为6,A为线段OP的中点,当OP=12时,点A与⊙O的位置关系是()
A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不能确定
2.△ABC,∠C=90°
AB=3cm,BC=2cm,以A为圆心的圆过C点,则⊙A的半径是()
A.2cmB.3cmC.
D.
3.已知⊙O的面积为25π,判断点P与⊙O的位置关系.
(1)若PO=5.5,则点P在;
(2)若PO=4,则点P在;
(3)若PO=,则点P在圆上.
4.一个点到已知圆上的点的最大距离是8,最小距离是2,则
圆的半径是________。
5.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米。
(1)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?
(2)
若以A点为圆心作圆A,使B、C、D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则圆A的半径r的取值范围是什么?
6.设⊙O的半径为2,点P到圆心的距离OP=m,且m使关于x的方程2x2-2
x+m-1=0有实数根,试确定点P的位置.
7.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=4,BC=9,AB=12,M为AB的中点,以CD为直径画圆P,判断点M与⊙P的位置关系.
垂径定理
知识点四圆的对称性
(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心。
(3)圆具有旋转对称性。
注意:
一个圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个,一个圆绕圆心旋转
任意角度,都能够和原图形重合,即圆还具有旋转对称性。
知识点五圆中有关概念
(1)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A、B为端点的弧,记作
.
(2)弦:
连接圆上任意两点间的线段,叫做弦,如图中的线段AB.
(3)直径:
经过圆心的弦,叫做直径.如图中的AC。
(注意:
直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦)。
(4)等弧:
在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧.
等弧只能是同圆或等圆中的弧,离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
等弧的长度必定相等,但长度相等的弧未必是等弧。
)
(5)半圆:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条等弧,每一条弧都叫做半圆.
半圆是弧,但弧不一定是半圆。
半圆不包括直径)。
(6)优弧:
大于半圆的弧称为优弧,记作
(用三个字母表示)。
(7)劣弧:
小于半圆的弧称为劣弧,记作
(用两个字母表示)。
知识点六垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
【例3】下列命题中,不正确的是_________.
A.垂直于弦的直径平分这条弦
B.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
C.弦的垂直平分线是圆的直径
D.平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
【例4】如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB于C,OC=3cm,求⊙O的半径长.
同步训练:
1.圆的半径等于4cm,圆内的一条弦长为
cm,则弦中点与弦所对弧中点的距离等于___________.
2.如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
3.已知A、B是⊙O上的两点,∠AOB=120°
,C是弧AB的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
4.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
5.已知:
如图,⊙O中,AB为弦,C为AB的中点,OC交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O的半径OA.
6.已知:
⊙O弦AB∥CD求证:
圆心角
知识点七圆心角
圆心角:
顶点在圆心,角的两边在圆内的部分是半径,这样的角叫做圆心角.
知识点八圆心角定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
知识点九弧的度数
把整个圆等分成360份,每一份这样的弧叫做
的弧。
定理:
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【例5】下列三个命题:
①圆既是轴对称图形又是中心对称图形;
②垂直于弦的直径平分弦;
③相等的圆心角所对的弧相等.④在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么弦也相等。
其中真命题的是()
A.①②B.②④C.①②④D.①②③
【例6】如图,OA、OB、OC都是圆O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:
∠ACB=2∠BAC
1.如图,⊙O中OA⊥BC,∠CDA=25°
,则∠AOB的度数为.
2.如图,已知AB,CD是⊙O的直径,CE是弦,且AB∥CE,∠C=
,则
的度数为
3.D、E是圆O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA、CE⊥OB,CD=CE,则
与
的关系是?
4.已知AB为圆O直径,M、N分别为OA、OB中点,CM⊥AB,DN⊥AB。
求证:
。
5.AB、CD为圆O两直径,弦CE//AB,
,求∠BOD。
6.如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB于D,AD=9cm,DB=4cm,求CD和AC的长.
课后作业:
1、下列命题中,不正确的是_________.
A.过一点有无数多个圆B.过两点有无数多个圆
C.弦是圆的一部分D.过同一直线上三点不能作圆
2、圆内最大的弦长为10cm,则圆的半径_________.
A.小于5cmB.大于5cmC.等于5cmD.不能确定
3、如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,ODBC,交AC于点D.OD=1cm,则BC的长为_________.
A.3cmB.2cmC.1.5cmD.4cm
4、如图,在⊙O中,OA是半径,弦AB=
cm,D是弧AB的中点,OD交AB于点C,若∠OAB=300,则⊙O的半径____cm。
5、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3,则两条平行弦之间的距离为_____。
6、如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC的长为_____。
7、如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB于E,CD=10,BE=1,则AB=。
8、如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O一条弦,延长DC与BA的延长线交于点P,且PC=OB,∠BOD=99°
,求∠P的度数.
9、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂,修理工人准备更换一
段新管道,经测量得到如图所示的数据,修理工人应准备内径多大的管道?
若此题只知下面弓形的高和AB的长,你仍然会做吗?
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- 第一课 圆的对称性 圆心角 第一 对称性