中考数学几何模型能力提升 截长补短Word文档下载推荐.docx

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例题3.如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°

，求证：

DA平分

∠CDE．

3.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°

的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°

．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

例题4.在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

（1）如图

（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°

，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为

　　；

（直接写出答案）

（2）如图

（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°

，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？

写出结论并证明；

（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°

，求线段AE长度的最大值．

例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°

．

（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；

（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．

①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；

②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．

例题6.如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．

（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：

BN＝CD；

（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；

（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．

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1.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°

，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．

2.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.

的等腰三角形，以D为顶点作一个60°

角∠

NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加

以证明．

4.如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．

（1）若∠D＝105°

，∠DAF＝35°

．求∠FAE的度数；

（2）求证：

AF＝CD+CF．

5.如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连

结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．

（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；

AE+BF＝AF．

6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°

，∠BCD＝120°

，连接AC，BD交于点E．

（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：

CM＝1：

2，连接BM，求点C到BM的距离．

（2）证明：

BC+CD＝AC．

7.如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连

接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．

（1）若AE＝2，求EF的长；

PF＝EP+EB．

答案

（2）BC=AB+CD．

【解答】证明：

如图所示：

（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AB∥CD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°

，

∴∠2+∠3=90°

∴∠BEC=90°

∴BE⊥CE．

（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．

在△ABE和△FBE中，

，∴△ABE≌△FBE（SAS），

∴∠A=∠5．

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°

∴∠5+∠D=180，

∵∠5+∠6=180°

∴∠6=∠D，

在△CDE和△CFE中，

，∴△CDE≌△CFE（AAS），

∴CF=CD．

∵BC=BF+CF，

∴BC=AB+CD，

答案：

略

例题2.已知△ABC中，∠A=60°

，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．

【解答】解：

在BC上取点G使得CG=CD，

∵∠BOC=180°

（∠ABC+∠ACB）=180°

（180°

﹣60°

）=120°

∴∠BOE=∠COD=60°

∵在△COD和△COG中，

∴△COD≌△COG（SAS），

∴∠COG=∠COD=60°

∴∠BOG=120°

=60°

=∠BOE，

∵在△BOE和△BOG中，

∴△BOE≌△BOG（ASA），

∴BE=BG，

∴BE+CD=BG+CG=BC．

△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°

，∠ADB=90°

AB=BD+CD，

理由是：

延长CD到E，使DE=BD，连接AE，

∵∠ADB=90°

∠BDC，

∴∠ADE=180°

﹣（90°

）﹣∠BDC=90°

∴∠ADB=∠ADE，

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠E=∠ABD=60°

，AB=AE，

∵AB=AC，

∴AE=AC，

∴△ACE是等边三角形，

∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．

例题3.如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°

连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，

∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，

∴CD=FD，

∵∠ABC+∠AED=180°

，∠AEF+∠AED=180°

∴∠ABC=∠AEF，

在△ABC和△AEF中，

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴AC=AF，

在△ACD和△AFD中，

∴△ACD≌△AFD（SSS）

∴∠ADC=∠ADF，

即AD平分∠CDE．

3.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°

的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是

CA延长线上一点，且∠MDN=60°

CN=MN+BM

证明：

在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°

又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°

∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，

又∵∠MDN=60°

，∠BDC=120°

∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）

=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）

=∠BDC﹣∠MDN=120°

∴∠MDN=∠EDN，

在△MND与△END中，

∴△MND≌△END（SAS），

∴MN=NE，

∴CN=NE+CE=MN+BM．

（1）如图

（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°

　AE=AB+DE　；

（2）如图

（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°

（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°

，则线段AE长度的最大值是　10+4

．　（直接写出答案）．

（1）AE=AB+DE；

（2）猜想：

AE=AB+DE+

BD．

在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．

∵C是BD边的中点，∴CB=CD=

∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．

在△ACB和△ACF中，

，∴△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．

同理可证：

CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．

∵CB=CD，∴CG=CF

∵∠ACE=120°

∴∠BCA+∠DCE=180°

﹣120°

∴∠FCA+∠GCE=60°

．∴∠FCG=60°

∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=

∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+

（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．

∵△ACB≌△ACF（SAS），

CD=CG，∴∠DCE=∠GCE

∵∠ACE=135°

﹣135°

=45°

∴∠FCA+∠GCE=45°

∴∠FCG=90°

∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=

∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4

∵AE=AB+4

+DE．

∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4

∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4

故答案为：

10+4

例题5.在△ABC中，∠BAC=90°

（1）如图1，直线l是BC