五年级奥数第二讲整除的进阶Word格式.docx
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11=0,所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。
1、六位数()2008()能同时被9和11整除。
这个六位数是多少?
分析:
是9的倍数也是11的倍数即是:
9×
11=99的倍数。
设六位数是
。
两位一截。
共3个两位数。
和应该是99的倍数,所以只能是99×
1=99成立,99×
2=198不成立。
=99,所以A=1,B=7,所以这个六位数是:
120087。
答:
2、已知九位数1234()()789能被99整除。
这个九位数是多少?
设1234(A)(B)789,从个位开始,两位一截,得到:
1、23、4(A)、(B)7、89,
和是:
01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×
10+7=160+A+10×
B=99的倍数。
160+A+10×
B的最小值:
160+0+10×
0=160(A和B在中间可以最小是0。
)
B的最大值,A和B都是9的时候,最大是:
160+9+10×
9=259。
和必须是99的倍数,和的范围在160到259,所以只能是:
99×
2=198。
B=198,所以A+10×
B=198-160=38,所以A=8,B=3成立。
所以这个多位数是:
123483789。
2、截断作差。
能被7、11、13整除的数的特征:
从个位开始,每三位一截,奇数段(第1、3、5、7...)之和与偶数段(第2、4、6、8.....)之和的差(大和减去小和)的差被7、11或者13整除。
每一段都是三位数。
但是最左边可能是1位数,2位数,3位数,不足的加0。
3、阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小高写一个一位数放在59和89之间拼成一个五位数59()89,使得这个五位数能被7整除。
请问:
小高写的数是多少?
从个位开始,3位一截。
两段是:
,差是:
,必须是7的倍数。
A可以是0到9,代入试算,得到A=6成立,630÷
7=90,所以小高写了6。
4、已知51位数55.....55555()999.......999(其中25个5,和25个9)能被13整除,中间括号内的数字是多少?
51÷
3=17段,25÷
3=8段……1个。
51位数一共分成了17个三位数。
25个5中间有8个三位数,还多了1个5,25个9也中间也有8个三位数,还多了一个9,所以正中间有一个三位数5()9,所以5()9是从个位开始的第8+1=9段即第9个三位数。
第奇数段的和:
1、3、5、7、9、11、13、15、17
即:
999+999+999+999+5()9+555+555+555+555
第偶数段的和:
2、4、6、8、10、12、14、16
999+999+999+999+555+555+555+555
大和减去小和-奇数段和-偶数段和=5()9,所以5()9必须是13的倍数就可以。
5()9=13×
(A)因为个位是9,所以A个位只能是3,所以A=33或者43,试算得:
13×
43=13×
40+13×
3=520+39=559。
成立。
或者5()9=5(A)9=509+A×
10=13×
39+2+A×
10=13的倍数,因为13×
39是13的倍数,所以2+A×
10必须是13的倍数。
A=5成立。
或者把A=0到9代入验证,得到A=5成立。
5、用数字6、7、8各2个,要组成能同时被6、7、8整除的六位数。
请写出一个满足要求的六位数。
6=2×
3,是2的倍数也是3的倍数,8:
末尾三位数是8的倍数。
7:
末三位数和之前数的差是7的倍数。
是2的倍数,个位只能是6或者8。
8=4×
2,所以是8的倍数,即除以4之后还可以继续除以2,所以是4的倍数。
所以末尾两位数是4的倍数。
(1)当个位是6时。
末尾两位数是:
66不行。
76可以。
86不可以。
所以末尾两位数位76。
再考虑8的倍数,那么末三位数是:
776、676、876,看看谁是8的倍数,776÷
8=97√,676÷
8=84余4×
,876÷
8=109余4×
所以只有末三位数为776,还剩下8、8、6,六位数可以是:
886776、868776、688776,验算是不是7的倍数。
886-776=110,110不是7的倍数。
868-776=92,92不是7的倍数。
776-688=88,88÷
7不行。
所以个位数是6不成立。
(2)个位数为8,那么末尾两位数是4的倍数,所以是68、78、88,其中只有68、88成立。
同时末尾三位数是8的倍数。
末尾三位数可能是:
668、768、868、688、788,其中768和688都是8的倍数,成立。
末尾三位数为768的时候,前三位是768就成立,768768一定是7的倍数,也是6的倍数,也是8的倍数。
所以768768成立。
末尾三位数是:
688时,剩6、7、7,六位数可以是:
677688、767688、776688,验算哪个是7的倍数。
688-677=11不成。
767-688=79,79不是7的倍数不行。
776-688=88,88不是7的倍数,所以不行。
768768。
6、★★★一个五位数,它的末三位为999。
如果这个数能被23整除,那么这个五位数最小是多少?
设五位数为
五位数拆成:
A代表A个10000=A×
10000;
B代表B个1000=B×
1000;
10000÷
23=434余18,1000÷
23=43余11,999÷
23=43余10
=A×
10000+B×
1000+999
=A×
(23×
434+18)+B×
43+11)+23×
43+10
23×
434+A×
18+B×
43+B×
11+23×
434+B×
43+23×
43+A×
11+10
因为红色部分和是23的倍数,那么当绿色部分为23的倍数,则和即五位数就是23的倍数。
所以:
A×
11+10必须是23的倍数。
题目说了,五位数要尽量小,所以A先考虑1的时候。
当A=1时,1×
11+10=28+B×
11=23的倍数,把B=0到9代入,都不成立。
所以考虑A=2时,2×
11+10=46+B×
11=23的倍数,要最小,所以B=0成立。
所以五位数为:
20999。
7、请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选择5个组成一个五位数,使得五位数是99的倍数,问这个五位数最大是多少?
数字和一共1+2+3+4+5+6+7=28
选择5个数的和最大为:
28-1-2=25---不选择的越小,选择的和越大。
选择5个数的和最小为:
28-6-7=15--不选择的越大,选择的和越小。
所以五位数的数字和的范围是15到25之间。
因为五位数的数字和是9的倍数,所以数字和为18。
所以不选的2个数的和为:
28-18=10,所以可能是3+7或者4+6不选。
(1)当3和7不选时,五位数的五个数字分别为:
1、2、4、5、6,因为奇数位与偶数位的差是11的倍数,而且奇数位有第1、3、5位,偶数位有第2、4位。
奇数位和+偶数位和=1+2+4+5+6=18
奇数位-偶数位=0、11
当差是0时,奇数位和=(18+0)÷
2=9,当差是11时,奇数位和=(18+11)÷
2=14.5错了。
所以差只能是0,奇数位和9,偶数位和也是9。
1、2、4、5、6,9=6+2+1=4+5,这个时候五位数最大是:
奇数位一定是621排列
偶数位一定是54排列
最大是:
65241。
(2)当4和6不选时。
五个数字是1、2、3、5、7,奇数位数字和是9,偶数位数字和9,9=1+3+5=2+7,所以1、3、5在奇数位,2和7在偶数位,所以最大数是:
57321。
所以最大是65241。
8、一个多位数(两位或者两位以上),它的各位数字互不相同,并且含有数字0,如果它能被11整除。
这个多位数最小是多少?
(1)两位数时。
设两位数是
,差是A-B是11的倍数,则A=B才行,所以与题目要求互不相同矛盾,所以不成立;
(2)三位数时。
设三位数
,因为数字互不相同,三位数要最小,那么先考虑A=1时,则1+C与B的差是11的倍数,差是0,101不可以,110不可以,121不可以,132可以。
所以最小是132。
9、甲乙两个人玩一个数字游戏。
甲先将一个三位数的百位和个位填好,然后乙再来填写这个三位数的十位上的数字。
如果最后这个三位数能被11整除,那么乙获得胜利。
如果这个三位数不能被11整除,那么乙就败了,即甲胜利。
甲想了一会,想到了一个必胜的办法。
甲的必胜办法是怎么样的?
设三位数是
百位和个位的数字和是:
A+C,因为A+C最小是1+0=1,最大是9+9=18。
所以A+C的和范围是1到18即奇数位的数字和范围是1到18。
乙填写的B即偶数位的数字和位B。
A+C与B的差必须是11的倍数,则乙胜利。
如果不是11的倍数,则甲胜。
因为A+C=0到18,
当A+C=0到9时,乙可以填写B对应0到9,可以使得差是0,则三位数是11的倍数,那么乙胜利。
当A+C=10时,差是0则B=10不行,差是11呢,B=21不行,所以当A+C=10时,B无论填写多少,都不是11的倍数,则甲必胜。
当A+C=11到18时,乙可以对应填0、1、2、3、4、5、6、7,差都是11,所以A+C=11到18时,乙可以胜利。
所以甲填写A+C和满足10就可以获胜。
10、对于一个自然数N,如果具有以下的性质就叫做“破坏数”:
把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被N+1整除。
一共有多少个不大于10的破坏数?
不大于10即≤10,即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
设一个自然数是X(X不一定是两位数,是一个未知数)。
(1)当N=0时。
新的数是
是0+1=1的倍数,所以N=0,0不是破坏数。
(2)当N=1时。
新的多位数是X1,X1是1+1=2的倍数吗?
因为X1是奇数,肯定不是2的倍数,所以N=1是破坏数。
(3)当N=奇数1、3、5、7、9时,把它们放在任何一个数的后面,都会使得新的数是一个奇数,但是奇数1、3、5、7、9分别加上1之后都是一个偶数。
即N+1一定是偶数。
因为一个奇数不可以是一个偶数的倍数,所以N=1\3\5\7\9都是破坏数。
X3不是1+3=4的倍数,X+5不是1+5=6的倍数,X7不是7+1=8的倍数,X9不是1+9=10的倍数。
(4)还要考虑2、4、6、8、10。
当N=2时,x2是2+1=3的倍数,这个是存在的,比如72÷
3=24,不是破坏数。
X4不可以是4+1=5的倍数,所以N=4也是破坏数。
X6可以是6+1=7的倍数,比如56是7的倍数。
X8可以是8+1=
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