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还有没有其它方法,可以使计算量变得更小,但又不要影响最后的答案?
4.
还有没有其它方法,在不增加计算量的前提下,可以得到更高的精度?
带着这样四个问题,我们先学习什么叫“相对误差率”
一、绝对误差与相对误差率
如果真实值为10,经过估算得到的结果为11,那么这个结果是有误差的。
通过计算“11-10=1”可知:
我们估算结果的误差为“1”,我们把这样的误差称为“绝对误差”,即估算值与真实值的差。
然而,“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念,我们更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异,我们把“绝对误差÷
真实值”称为估算的“相对误差率”,也常常简称为“相对误差”,这是我们误差理论当中最重要的概念,也是我们研究和学习的重点。
譬如将“10”估算为“11”的相对误差即为:
(11-10)÷
10=10%。
在资料分析的速算中,我们一定要分清“绝对误差”和“相对误差(率)”的区别和联系,这是速算方法精度估计的重要基础。
譬如将“8%”估算为“9%”,绝对误差应该为“1%”,而相对误差不是“1%”,而是“1%÷
8%=12.5%”。
正因如此,如果两个选项分别为“9%”和“8%”,那么在计算当中出现“1%左右”的相对误差并不会太影响最后的结果。
我们在速算当中务必遵循以下两条最基本的原则:
加减运算,考虑“绝对误差”;
乘除运算,考虑“相对误差”。
二、加减运算中的误差控制
加减运算和“绝对误差”并不是我们误差理论的重点,因为考生一般已经具备在加减运算当中运用“绝对误差”分析和控制的能力。
我们仅仅举两个简单的例子即可。
[例1]2009年1-8月,某地区对外出口额分别为9951.23、6776.89、3119.86、4250.48、9137.21、7417.93、7300.68、2678.17万美元。
请问该地区2009年前八个月对外出口总额为多少亿美元?
A.4.76
B.5.06
C.5.36
D.5.66
[答案]B
[解析]选项间的“绝对差异”为:
0.3亿美元=3000万美元,那么我们将八个数字相加的时候,每个数字取到“百万”量级,就不会影响最后结果的判定,我们以“百万”为单位对这八个数字进行“截位”相加(运用“四舍五入”):
100+68+31+43+91+74+73+27=507(百万美元),结合选项,选择B
[注释]通过上面的分析我们知道,在多个数字进行的加减运算中,如果各个数字近似产生的误差要比选项间的差距小一个量级,这样近似得到的值一般不会影响最后结果的判定。
[例2]2008年,某地区国内生产总值和第二产业产值分别为673、384亿元;
2009年,该地区国内生产总值和第二产业产值分别达到803、427亿元。
请问该地区第二产业产值在GDP当中的比重下降了几个百分点?
A.3.08
B.3.48
C.3.88
D.4.28
[答案]C
三、乘除运算中的误差分析
前面我们提到过,“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”,而这是我们误差分析最为重要的内容。
那么,如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似,它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢?
我们首先先给出两个重要的结论:
两个数相乘,那么这两个数的相对误差之和,近似为总体的相对误差;
两个数相除,那么这两个数的相对误差之差,近似为总体的相对误差。
我们先举两个相乘的例子:
注:
上面分析的所有误差指的都是“相对误差”,因为只有“相对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。
四、近似误差与选项差异
通过上面的分析我们知道,近似的计算会产生一定的误差,那么这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢?
这就取决于近似误差(“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差,在与“选项差异”进行大小比较时,指其绝对值)与选项差异之间的相对关系了,通俗的讲就是:
选项差别大,估算可大胆;
选项差别小,估算需谨慎。
但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述,我们更加需要的是定量的结论。
首先,我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义:
我们以两个数字当中较大的数字为真实值,较小的数字为估算值,这样计算得到的“相对误差”的绝对值,我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。
譬如“4”和“5”,我们以5为真实值,以4为估算值,得到的“相对误差”为“-20%”,那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。
再譬如说,9和12之间的相对差异为25%,15和18之间的相对差异为16.7%等等。
然后,我们对“选项差异”进行一个定义:
所谓“选项差异”,是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。
具体操作时,我们仅需要考虑相邻数字之间(是指大小相邻,非而位置相邻)的相对差异即可。
我们看下面这样的选项设置:
A.20
B.24
C.28
D.32
我们考虑相邻数字之间的相对差异:
20与24之间的相对差异为16.7%,24与28之间的相对差异为14.3%,28与32之间的相对差异为12.5%。
那么,这样设置下的“选项差异”就是12.5%。
事实上,我们对选项差异的计算也只需要得到一个大致的值,并不一定需要计算得非常的精确。
当我们知道了“选项差异”之后,我们就可以在近似计算中控制近似误差,使其不至于影响最后结果的判定。
下面我们再来看一个例子:
[例3]706.38÷
24.75=?
A.20.5
B.24.5
C.28.5
D.32.5
[解析]我们大致估算,“选项差异”高于10%,那么在近似计算中产生1%左右(或以下)的误差不会影响到最后结果的判定:
706.38÷
24.75≈700÷
25=28
由“706.38”近似到“700”减小了1%左右,由“24.75”近似到“25”增加了1%左右,这样的近似不会影响到最后结果的判定,因为“选项差异”在10%以上。
因此,我们选择离28最近的数字“28.5”,选择C。
通过上面的分析我们知道,近似估算若要不影响最后结果的判定,“近似误差”必须比“选项差异”要小,但具体要小到什么程度呢?
我们大概给出下面这样的参考:
选项差异÷
近似误差
4倍以下
4~9倍
9~50倍
50倍以上
估算建议
不建议使用
注意控制误差
选择近似值
忽略误差
我们进行的乘除计算,一般是2~3个数字的计算,当“选项差异”不到“近似误差”的4倍时,多个数字的“近似误差”就很可能影响到最后结果的判定,这时候我们不建议使用这种精度的估算。
当“选项差异”为“近似误差”的4~9倍时,我们一般会进行“有向误差分析”或者“误差抵消”以提高精度,后面我们将有专题进行讨论。
当“选项差异”为“近似误差”的9~50倍时,选择离估算结果最近的值即可,正因如此,我们一般推荐大家将“近似误差”控制在选项差异的1/10左右(或以下),更高的精度计算一般是没有必要的。
当“近似误差”不到“选项差异”的“1/50”时,我们得到的结果完全可以直接代表最终正确的答案。
[例4]38716÷
84397=?
A.35.37%
B.40.74%
C.45.87%
D.49.34%
[解析]初步估算,选项差异在在10%左右,我们可以对原数字进行1%左右(或以下)的近似:
38716÷
84397≈39000÷
84000≈46%,选择最接近的值,即C。
[例5]9.503×
5.837=?
A.50.44
B.55.47
C.59.98
D.60.28
[解析]C和D之间的相对差异很小,但我们知道:
9.503×
5.837<
10×
6=60,所以D选项可以直接排除不予考虑。
而A、B、C之间的“选项差异”在7%以上,那么我们可以对原数字进行0.7%左右(或以下)的近似:
5.837≈9.5×
5.8=55.1,选择最接近的值,即B。
[例6]6405÷
79934=?
A.4%
B.6%
C.8%
D.10%
[解析]6405÷
79934≈6400÷
80000=8%。
“选项差异”为20%,近似误差低于1‰,因此误差可以直接忽略,估算得到的值即可代表最终的真实值。
学到这里,我们把思路理清楚一下:
我们在进行近似估算之前,先分析“选项差异”,然后在近似中将“近似误差”控制在“选项差异”的“1/10”左右(或以下),然后选择与计算结果最接近的选项即可。
这样一来,似乎所有的近似估算都变得特别简单,然而,如果有一个问题没有解决的话,我们的计算仍然没有得到实质的简化,那就是:
如何快速判断近似估算的“近似误差”(譬如说将5.837近似为5.8,“近似误差”到底是多少?
),这个问题不解决,误差分析无从谈起;
这个问题掌握后,不仅“近似误差”的问题解决了,“选项差异”的估算也同时得到解决,因为两者本质是相同的。
五、近似误差的估算
在学“近似误差”的估算之前,我们先强调两个重要的问题:
我们对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”,精算是没有必要也是不可行的,实际操作中我们只需要给出一个大概的值即可;
“近似误差”一般分成两档:
“1-10%”与“1-10‰”,明显低于1‰很多的一般可以忽略,明显高于10%很多的情形在近似中一般也很难见到。
我们一般运用“左移两位百分法”估算“1-10%”左右的“近似误差”。
譬如,当我们判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时,先将绝对误差(不考虑正负号)“0.83”左移两位变为“83.00”,再与原数“42.83”进行比较,大概是2倍的关系,那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。
如下图所示:
通过上面六个例子的讲述,相信大家已经掌握了“近似误差”估算的要领。
与此同时,“选项差异”的估算也是通过同样的方法进行估算的,只是在具体操作的时候有这样两点特别之处:
“选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂,我们一般截取前1~2位计算即可;
“选项差异
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- 误差 初步 理论