最新考研 线性代数 笔记精华 3打印培训讲学.docx
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最新考研线性代数笔记精华3打印培训讲学
一章行列式
一、重点
1、理解:
行列式的定义,余子式,代数余子式。
2、掌握:
行列式的基本性质及推论。
3、运用:
运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。
二、难点
行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式
1、若A为n阶方阵,则│kA│=kn│A│
2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│·│B│
3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,│A│=∏λi
四、题型及解题思路
1、有关行列式概念与性质的命题
2、行列式的计算(方法)
1)利用定义
2)按某行(列)展开使行列式降阶
3)利用行列式的性质
①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。
②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。
③逐次行(列)相加减,化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式
5)数学归纳法,多用于证明
3、运用克莱姆法则求解线性方程组
若D=│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即
x1=D1/D,x2=D2/D,…,xn=Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意:
克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题
1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解)
2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法则求出
第二章矩阵
一、重点
1、理解:
矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)
2、掌握:
1)矩阵的各种运算及运算规律
2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3)矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1)交换律一般不成立,即AB≠BA
2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵
(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2
(AB)k≠AkBk
(A+B)(A-B)≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。
3)由AB=0不能得出A=0或B=0
4)由AB=AC不能得出B=C
5)由A2=A不能得出A=I或A=0
6)由A2=0不能得出A=0
7)数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1)(A–1)–1=A
2)(kA)–1=(1/k)A–1,(k≠0)
3)(AB)–1=B–1A–1
4)(A–1)T=(AT)–1
5)│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1)(AT)T=A
2)(kA)T=kAT,(k为任意实数)
3)(AB)T=BTAT
4)(A+B)T=AT+BT
4、伴随矩阵
1)A*A=AA*=│A│I(AB)*=B*A*
2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,(n≥2)
3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*
4)若r(A)=n,则r(A*)=n
若r(A)=n-1,则r(A*)=1
若r(A)
5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1
5、初等变换(三种)
1)对调二行(列)
2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素
3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素
注意:
用初等变换①求秩,行、列变换可混用
②求逆阵,只能用行或列变换
③求线性方程组的解,只能用行变换
6、初等矩阵
1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换
3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)
7、矩阵方程
1)含有未知矩阵的等式
2)矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示
<==>r(A)=r(A┆B)
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r(A)=n
<==>A的列(行)向量组线性无关
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b,使得Ax=b总有唯一解
<==>A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1)定义法:
找出B使AB=I或BA=I
2)伴随阵法:
A-1=(1/│A│)A*
注意:
用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n>3时,通常用初等变换法。
3)初等变换法:
对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)
4)分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1)若A可逆,则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X
2)若A可逆,可用初等变换法直接求出X
(A┆B)初等行变换(I┆X)
3)若A不可逆,则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组,然后对每列常数项分别求解。
第三章线性方程组
一、重点
1、理解:
向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。
2、掌握:
向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。
3、运用:
线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。
二、难点
线性相关、线性无关的判定。
向量组的秩与矩阵的秩的关系。
方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析
1、n维向量的概念与运算
1)概念
2)运算
若α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T
①加法:
α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T
②数乘:
kα=(ka1,ka2,…,kan)T
③内积:
(α·β)=a1b1+a2b2+,…,+anbn=αTβ=βTα
2、线性组合与线性表出
3、线性相关与线性无关
1)概念
2)线性相关与线性无关的充要条件
①线性相关
α1,α2,…,αs线性相关
<==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解
<==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)<s(向量的个数)
<==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出
特别的:
n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│=0
n+1个n维向量一定线性相关
②线性无关
α1,α2,…,αs线性无关
<==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
<==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)=s(向量的个数)
<==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出
③重要结论
A、阶梯形向量组一定线性无关
B、若α1,α2,…,αs线性无关,则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αit必线性无关,它的任一延伸组必线性无关。
C、两两正交,非零的向量组必线性无关。
4、向量组的秩与矩阵的秩
1)极大线性无关组的概念
2)向量组的秩
3)矩阵的秩
①r(A)=r(AT)
②r(A+B)≤r(A)+r(B)
③r(kA)=r(A),k≠0
④r(AB)≤min(r(A),r(B))
⑤如A可逆,则r(AB)=r(B);如B可逆,则r(AB)=r(A)
⑥A是m×n阵,B是n×p阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n
4)向量组的秩与矩阵的秩的关系
①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)
②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。
特别的,等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法
1)概念
2)求法
对A作初等行变换化为阶梯形矩阵,称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元),那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n-r(A)个),对自由变量按阶梯形赋值后,再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定
1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。
2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0
3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)
2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b
①有唯一解<==>r(A)=r(A增)=n
②有无穷多解<==>r(A)=r(A增)
③无解<==>r(A)+1=r(A增)
8、非齐次线性方程组解的结构
如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。
1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解
2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解
3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)
四、题型及解题思路
1、有关n维向量概念与性质的命题
2、向量的加法与数乘运算
3、线性相关与线性无关的证明
1)定义法
设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!
)
①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A
②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。
2)用秩(等于向量个数)
3)齐次方程组只有零解
4)反证法
4、求给定向量组的秩和极大线性无关组
多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。
5、求矩阵的秩
常用初等变换法。
6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组
第四章线性空间
一、重点
1、理解:
线性空间、基、维数、内积、长度、夹角和距离的概念,正交向量组及标准正交基的概念,正交矩阵
2、掌握:
Rn及其中向量的运算规则。
内积、长度、夹角、距离的计算。
3、运用:
两个向量的正交。
二、难点
正交矩阵的性质及应用。
三、重点难点解析
1、线性空间与基的概念和性质
2、内积、距离与夹角
1)内积:
α
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