高中数学新设计同步 必修3 人教B版 第三章 概 率314Word下载.docx
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∵G,F不能同时发生,且G,F必有一个发生,∴G与F既是互斥事件又是对立事件.
梳理
1.互斥事件:
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件).
2.对立事件:
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对立事件记作
.由于A与
是互斥事件,所以P(Ω)=P(A∪
)=P(A)+P(
),又由Ω是必然事件,得到P(Ω)=1.所以P(A)+P(
)=1,即P(
)=1-P(A).
知识点三 概率的基本性质
思考 概率的取值范围是什么?
为什么?
答案 概率的取值范围是0~1之间,即0≤P(A)≤1;
由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,因而概率的取值范围也在0~1之间.
梳理 概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0,1].
(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
(3)互斥事件的概率加法公式
①假定A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥(彼此互斥),那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1,A2,…,An中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.( ×
)
2.若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件.( √ )
3.若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.( √ )
类型一 事件关系的判断
例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
解
(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
反思与感悟
(1)不可能事件记作∅,任何事件都包含不可能事件.
(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似,不可能事件与空集相似,学习时要注意类比记忆.
(3)事件A也包含于事件A,即A⊆A.
(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件,相等的事件A,B总是同时发生或同时不发生.
跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
答案 D
解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;
B中两事件是对立事件;
C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;
D中两事件是互斥而不对立事件.
类型二 互斥事件的概率加法公式
例2 在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
解 分别记小明的考试成绩在90分以上,在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.
跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求投掷一枚炸弹,军火库发生爆炸的概率.
解 因为只投掷了一枚炸弹,故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的.
令A,B,C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库,
则P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1.
令D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,又因为A,B,C是两两互斥事件,故所求概率为P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
类型三 用互斥、对立事件求概率
例3 甲、乙两人下棋,和棋的概率是
,乙获胜的概率为
,求:
(1)甲获胜的概率;
(2)甲不输的概率.
解
(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为1-
-
=
.
(2)方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(甲不输)=
+
方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(甲不输)=1-
,故甲不输的概率为
反思与感悟
(1)只有当A,B互斥时,公式P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立;
只有当A,B互为对立事件时,公式P(A)=1-P(B)才成立.
(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种:
一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;
二是间接求解,先找出所求事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P(
)求解.
跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三等品”.已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.20B.0.39C.0.35D.0.90
答案 C
解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而P(A)=0.65,∴抽到的不是一等品的概率是1-0.65=0.35.
1.从1,2,…,9中任取两数,其中:
①恰有一个偶数和恰有一个奇数;
②至少有一个奇数和两个数都是奇数;
③至少有一个奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述各对事件中,是对立事件的是( )
A.①B.②④C.③D.③④
解析 从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件.
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )
A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7
解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C.
3.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为
,乙夺得冠军的概率为
,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
答案
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
4.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是______.
答案 0.10
解析 设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为
P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.
求:
(1)他乘火车或飞机去的概率;
(2)他不乘轮船去的概率.
解 设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥.
(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
(2)P=1-P(B)=1-0.2=0.8.
1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;
而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;
反之两个事件对立,它们一定互斥.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B).
3.求复杂事件的概率通常有两种方法:
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;
(2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.
一、选择题
1.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示( )
A.全部击中B.至少击中1发
C.至少击中2发D.以上均不正确
答案 B
解析 A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发,2发或3发,故选B.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是
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