高考数学理科一轮复习数学归纳法学案带答案Word格式.docx

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．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3

2．如果命题P（n）对于n＝（∈N*）时成立，则它对n＝＋2也成立，又若P（n）对于n＝2时成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对所有正整数n成立

B．P（n）对所有正偶数n成立

．P（n）对所有正奇数n成立

D．P（n）对所有大于1的正整数n成立

3．（2011&

#8226;

台州月考）证明n＋22&

lt;

1＋12＋13＋14＋…＋12n&

n＋1（n&

gt;

1），当n＝2时，中间式子等于（　　）

A．1B．1＋12

．1＋12＋13D．1＋12＋13＋14

4．用数学归纳法证明“2n&

n2＋1对于n&

n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　　）

A．2B．3．D．6

．用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝＋1时的情况，只需展开（　　）

A．（＋3）3B．（＋2）3

．（＋1）3D．（＋1）3＋（＋2）3探究点一　用数学归纳法证明等式

例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明：

1&

n＋2&

（n－1）＋3&

（n－2）＋…＋（n－1）&

2＋n&

1＝16n（n＋1）（n＋2）．

变式迁移1　（2011&

金华月考）用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*,1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n

探究点二　用数学归纳法证明不等式

例2　用数学归纳法证明：

对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋1…1＋12n－1&

2n＋12均成立．

变式迁移2　已知为正整数，用数学归纳法证明：

当x&

－1时，（1＋x）≥1＋x

探究点三　用数学归纳法证明整除问题

例3　用数学归纳法证明：

当n∈N*时，an＋1＋（a＋1）2n－1能被a2＋a＋1整除．

变式迁移3　用数学归纳法证明：

当n为正整数时，f（n）＝32n＋2－8n－9能被64整除．

从特殊到一般的思想

例　（14分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．

【答题模板】

解　

（1）由已知得a2＋a＝12a2a＝27，又∵{an}的公差大于0，

∴a&

a2，∴a2＝3，a＝9∴d＝a－a23＝9－33＝2，a1＝1，

∴an＝1＋（n－1）×

2＝2n－1[2分]

∵Tn＝1－12bn，∴b1＝23，当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，

∴bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，

化简，得bn＝13bn－1，[4分]

∴{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，

即bn＝23&

13n－1＝23n，

∴an＝2n－1，bn＝23n[6分]

（2）∵Sn＝1＋&

#61480;

2n－1&

#61481;

2n＝n2，∴Sn＋1＝（n＋1）2，1bn＝3n2

以下比较1bn与Sn＋1的大小：

当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，∴1b1&

S2，当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，∴1b2&

S3，

当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，∴1b3&

S4，当n＝4时，1b4＝812，S＝2，∴1b4&

S

猜想：

n≥4时，1bn&

Sn＋1[9分]

下面用数学归纳法证明：

①当n＝4时，已证．

②假设当n＝（∈N*，≥4）时，1b&

S＋1，即32&

（＋1）2[10分]

那么，n＝＋1时，1b＋1＝3＋12＝3&

32&

3（＋1）2＝32＋6＋3＝（2＋4＋4）＋22＋2－1&

[（＋1）＋1]2＝S（＋1）＋1，∴n＝＋1时，1bn&

Sn＋1也成立．[12分]

由①②可知n∈N*，n≥4时，1bn&

Sn＋1都成立．

综上所述，当n＝1,2,3时，1bn&

Sn＋1，当n≥4时，1bn&

Sn＋1[14分]

【突破思维障碍】

1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．

2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．

【易错点剖析】

1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；

初始值的验证是归纳假设的基础．

2．在进行n＝＋1命题证明时，一定要用n＝时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．1．数学归纳法：

先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n＝（∈N*，≥n0）时命题成立，并证明当n＝＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少＝n0时命题成立，由假设合理推证出n＝＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0＝1成立，又证明了n＝＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3成立，n＝3成立，则n＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n≥n0的整数就都成立了．

2．

（1）第①步验证n＝n0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．

（2）第②步证明n＝＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋n能被x＋整除”，在第二步时，正确的证法是（　　）

A．假设n＝（∈N*）时命题成立，证明n＝＋1命题成立

B．假设n＝（是正奇数）时命题成立，证明n＝＋1命题成立

．假设n＝2＋1（∈N*）时命题成立，证明n＝＋1命题成立

D．假设n＝（是正奇数）时命题成立，证明n＝＋2命题成立

2．已知f（n）＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则（　　）

A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f

（2）＝12＋13

B．f（n）中共有n＋1项，当n＝2时，f

（2）＝12＋13＋14

．f（n）中共有n2－n项，当n＝2时，f

（2）＝12＋13

D．f（n）中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f

（2）＝12＋13＋14

3．如果命题P（n）对n＝成立，则它对n＝＋1也成立，现已知P（n）对n＝4不成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对n∈N*成立

B．P（n）对n&

4且n∈N*成立

．P（n）对n&

D．P（n）对n≤4且n∈N*不成立

4．（2011&

日照模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝＋1时左端应在n＝的基础上加上（　　）

A．2＋1

B．（＋1）2

&

＋1&

4＋&

22

D．（2＋1）＋（2＋2）＋（2＋3）＋…＋（＋1）2

．（2011&

湛江月考）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若f（）≥2成立，则f（＋1）≥（＋1）2成立，下列命题成立的是（　　）

A．若f（3）≥9成立，且对于任意的≥1，均有f（）≥2成立

B．若f（4）≥16成立，则对于任意的≥4，均有f（）&

2成立

．若f（7）≥49成立，则对于任意的&

7，均有f（）&

D．若f（4）＝2成立，则对于任意的≥4，均有f（）≥2成立

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2（n∈N*）”时，从n＝到n＝＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

7．（2011&

南京模拟）用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n&

1324的过程中，由n＝推导n＝＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．

8．凸n边形有f（n）条对角线，凸n＋1边形有f（n＋1）条对角线，则f（n＋1）＝f（n）＋________

三、解答题（共38分）

9．（12分）用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n（n∈N*）．

10．（12分）（2011&

新乡月考）数列{an}满足an&

0，Sn＝12（an＋1an），求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．

11．（14分）（2011&

郑州月考）已知函数f（x）＝1x2e－1|x|（其中e为自然对数的底数）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）在（－∞，0）上求函数f（x）的极值；

（3）用数学归纳法证明：

0时，对任意正整数n都有f（1x）&

n！

x2－n

学案39　数学归纳法

自主梳理

1．一般结论　完全　不完全　2

（1）P1　P0　

（2）P　P＋1

3．

（1）n0（n0∈N*）　

（2）n＝（≥n0，∈N*）　n＝＋1

自我检测

1．　[当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2]

2．B　[由n＝2成立，根据递推关系“P（n）对于n＝时成立，则它对n＝＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P（n）对所有正偶数n成立”．]

3．D　[当n＝2时，中间的式子

1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14]

4．　[当n＝1时，21＝12＋1；

当n＝2时，22&

22＋1；

当n＝3时，23&

32＋1；

当n＝4时，24&

42＋1而当n＝时，2&

2＋1，∴n0＝]

．A　[假设当n＝时，原式能被9整除，

即3＋（＋1）3＋（＋2）3能被9整除．

当n＝＋1时，（＋1）3＋（＋2）3＋（＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（＋3）3展开，让其出现3即可．]

堂活动区

例1　解题导引　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：

等式的两边各有多少项，由n＝到n＝＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

证明　设f（n）＝1&