《勾股定理》典型练习题.doc

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《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：

如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

公式的变形：

a2=c2-b2，b2=c2-a2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：

某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：

最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：

这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：

①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：

（3，4，5 ）（5，12，13 ）（ 6，8，10 ） （ 7，24，25 ） （ 8，15，17 ）（9，12，15 ） 

4、最短距离问题：

主要

5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：

利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：

（1）阴影部分是正方形；

（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）

A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、（难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。

考点二：

在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．

2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）

A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍

5、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）

A、2n B、n+1 C、n2－1 D、

7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

A.B.C.D.以上都有可能

8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24 B、36 C、48 D、60

9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5 B、25 C、7 D、15

10、已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，求△ABC的周长。

（提示：

两种情况）

考点三：

应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．

考点四：

勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17

2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7

3、下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3；

③△ABC中，a：

b：

c=3：

4：

5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．

其中是直角三角形的个数有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.不等边三角形

5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（　　）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）

A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。

8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。

例3：

求

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。

（2）已知三角形三边的比为1：

：

2，则其最小角为。

 考点五:

应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为       ．

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）

A

B

C

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动米

3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

60

120

140

B

60

A

C

第5题图7

5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：

mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.

6、如图：

有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．

xzx

7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：

登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？

图18-15

考点七：

折叠问题（较难的一类）

1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CE等于（）

A.B.C.D.

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。

A

B

C

E

F

D

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：

AF=FC；

（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．

9、（难）如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，求证：

DE：

DM：

EM=3：

4：

5。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）

A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77

2-5

11、（稍难）如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？

若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

（提示：

根据勾股定理，列出一元二次方程，超初二范围）

12、（难）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

（提示：

连接AD，证△AED≌△CFD,可得AE=C