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教学重点
正态分布曲线的性质、标准正态曲线
教学难点
3σ原则的应用
教学过程
一、课堂导入
问题:
已知ξ~N(0,σ2)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>
2)=?
二、复习预习
正态分布在高考中经常考察以下几点:
1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率;
2.考查3σ原则的实际应用.所以在复习时,要掌握以下几点:
1.了解正态分布与正态曲线
的概念,掌握正态分布的对称性;
2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率.
三、知识讲解
考点1
1.正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数f(x)=
exp
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>
0)为参数,我们称f(x)的图像(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
;
④曲线与x轴之间的面积为__1__;
⑤当σ一定时,曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;
σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
考点2
2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a<
b),随机变量X满足P(a<
X<
b)=ʃ
f(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记作N(μ,σ2).
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<
μ+σ)=68.3%;
②P(μ-2σ<
μ+2σ)=95.4%;
③P(μ-3
σ<
μ+3σ)=99.7%.
四、例题精析
考点一正态分布的性质
例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为
.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;
(2)求正态总体在(-4,4)的概率.
【规范解答】
(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图像关于y轴对称,即μ=0.由
=
,得σ=4,
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
f(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞).
(2)P(-4<
4)=P(0-4<
0+4)
=P(μ-σ<
μ+σ)=0.683.
【总结与反思】解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系,掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响
考点二服从正态分布的概率计算
例2设X~N(1,22),试求
(1)P(-1<
3);
(2)P(3≤X<
5);
(3)P(X≥5).
【规范解答】∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.
3)=P(1-2<
1+2)
(2)∵P(3≤X<
5)=P(-3<
X≤-1)
∴P(3<
5)=
[P(-3<
5)-P(-1<
3)]
[P(1-4<
1+4)-P(1-2<
1+2)]
[P(μ-2σ<
μ+2σ)-P(μ-σ<
μ+σ)]
×
(0.954-0.683)=0.1355.
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=
[1-P(-3<
5)]
[1-P(1-4<
1+4)]
[1-P(μ-2σ<
μ+2σ)]=
(1-0.954)=0.023.
【总结与反思】求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上
考点三正态分布的应用
例3在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分.
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率;
(2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数.
(1)由ξ~N(100,100)知μ=100,σ=10.
∴P(80<
ξ<
120)=P(100-20<
100+20)=0.954,
即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954.
(2)P(90<
110)=P(100-10<
100+10)=0.683,
∴P(ξ>
110)=
(1-0.683)=0.1585,
∴P(ξ≥90)=0.683+0.1585=0.8415.
∴及格人数为2000×
0.8415≈1683(人).
【总结与反思】解决此类问题,首先要确定μ与σ的值,然后把所求问题转化到已知概率的区间上来,在求概率时,要注意关于直线x=μ对称的区间上概率相等这一性质的应用
课程小结
1.正态曲线及性质
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
④曲线与x轴之间的面积为__1__;
2.正态分布
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