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(1)轴对称图形的概念:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
(2)轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合;
轴对称图形的对称轴可以是一条,也可以是多条甚至无数条.
(3)常见的轴对称图形:
等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等.
1.4镜面对称
1、镜面对称:
有时我们把轴对称也称为镜面(镜子、镜像)对称,如果沿着图形的对称轴上放一面镜子,那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的(和原来的图形一样).
2、镜面实质上是无数对对应点的对称,连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分,即镜面上有每一对对应点的对称轴.
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法,如手头没有镜面,可以写在透明纸上,从反面看到的结果就是镜面反射的结果.
1.5关于X轴,y轴对称的点的坐标
(1)关于x轴的对称点的坐标特点:
横坐标不变,纵坐标互为相反数.
即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y).
(2)关于y轴的对称点的坐标特点:
横坐标互为相反数,纵坐标不变.
即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y).
1.6坐标与图形变化-对称
(1)关于x轴对称
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
(2)关于y轴对称
纵坐标相等,横坐标互为相反数.
(3)关于直线对称
①关于直线x=m对称,P(a,b)⇒P(2m−a,b)
②关于直线y=n对称,P(a,b)⇒P(a,2n−b)
1.7作图-轴对称变换
几何图形都可看做是有点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的,一般的方法是:
①由已知点出发向所给直线作垂线,并确定垂足;
②直线的另一侧,以垂足为一端点,作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长,得到线段的另一端点,即为对称点;
③连接这些对称点,就得到原图形的轴对称图形.
1.8利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质,利用轴对称的作图方法来作图,通过变换对称轴来得到不同的图案.
1.9剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程,会形成一个轴对称图案.解决这类问题要熟知轴对称图形的特点,关键是准确的找到对称轴.一般方法是动手操作,拿张纸按照题目的要求剪出图案,展开即可得到正确的图案.
1.10轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.
2、凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.
1.11翻折变换(折叠问题)
1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.
2、折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
3、在解决实际问题时,对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,这样便于找到图形间的关系.
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应认真审题,设出正确的未知数.
2.【图形的平移】
2.1生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称平移.
2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相等.
3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离.
2.2平移的性质
(1)平移的条件
平移的方向、平移的距离
(2)平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
2.3坐标与图形变化-平移
(1)平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x+a,y)
①向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x−a,y)
①向上平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y+b)
①向下平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y−b)
(2)在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;
如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即:
横坐标,右移加,左移减;
纵坐标,上移加,下移减.)
2.4作图-平移变换
(1)确定平移后图形的基本要素有两个:
平移方向、平移距离.
(2)作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
2.5利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离,连续作图即可设计出美丽的图案.
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩.
3.【图形的旋转】
3.1生活中的旋转现象
(1)旋转的定义:
在平面内,把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做对应点.
(2)注意:
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换,因而旋转一定有旋转中心和旋转角,且旋转前后图形能够重合,这时判断旋转的关键.
②旋转中心是点而不是线,旋转必须指出旋转方向.
③旋转的范围是平面内的旋转,否则有可能旋转成立体图形,因而要注意此点..
3.2旋转的性质
(1)旋转的性质:
①对应点到旋转中心的距离相等.
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
③旋转前、后的图形全等.
(2)旋转三要素:
①旋转中心;
②旋转方向;
③旋转角度.
注意:
三要素中只要任意改变一个,图形就会不一样.
3.3旋转对称图形
(1)旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°
)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形.
(2)常见的旋转对称图形有:
线段,正多边形,平行四边形,圆等.
3.4中心对称
(1)中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°
,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点..
(2)中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合;
②关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
3.5中心对称图形
(1)定义
把一个图形绕某一点旋转180°
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
中心对称图形和中心对称不同,中心对称是两个图形之间的关系,而中心对称图形是指一个图形自身的特点,这点应注意区分,它们性质相同,应用方法相同.
(2)常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.
3.6关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
(1)两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y).
(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称,它是中心对称在平面直角坐标系中的应用,它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.
运用时要熟练掌握,可以不用图画和结合坐标系,只根据符号变化直接写出对应点的坐标.
3.7坐标与图形变换-旋转
(1)关于原点对称的点的坐标
P(x,y)⇒P(−x,−y)
(2)旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:
30°
,45°
,60°
,90°
,180°
.
3.8作图-旋转变换
(1)旋转图形的作法:
根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.
(2)旋转作图有自己独特的特点,决定图形位置的因素较多,旋转角度、旋转方向、旋转中心,任意不同,位置就不同,但得到的图形全等.
3.9利用旋转设计图形
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案.
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素(①旋转中心;
③旋转角度)设计图案.通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案.
3.10几何变换的类型
(1)平移变换:
在平移变换下,对应线段平行且相等.两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等.
(2)轴对称变换:
在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分.
(3)旋转变换:
在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角.
(4)位似变换:
在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;
一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;
对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;
不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;
任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;
圆变为圆,且两圆心为对应点;
两对应圆相切时切点为位似中心.
4.【图形的相似】
4.1比例性质
(1)比例的基本性质:
组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项.
(2)常用的性质有:
①内项之积等于外项之积.若ab=cd,,则ad=bc.②合比性质.若ab=cd,,则a+bb=c+dd.
③分比性质..若ab=cd,则a−bb=c−dd.④合分比性质..若ab=cd,则a+ba−b=c+dc−d.
⑤等比性质..若ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),则a+c+…+mb+d+…+n=mn.
4.2比例线段
(1)对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如ab=cd(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(2)判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先
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