同余的性质与应用.docx
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同余的性质与应用
同余的性质及应用
1引言
数论的一些基础内容的学习,一方面可以加深对数的性质的了解,更深入的理解某些其他邻近学科,另一方面,可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础,其中同余理论有时整数论的重要组成部分,所以学好同余理论是非常重要的^
在日常生活中,我们所要注意的常常不是某些整数,而是这些数用某一固定的数去除所得的余数,例如我们问现在是几点钟,就是用24去除某一个总的时数所得的余数;问现在是星期几,就是问用7去除某一个总的天数所得的余数,假如某月2号是
星期一,用7去除这月的号数,余数是2的都是星期一.
我国古代孙子算经里已经提出了同余式xb1(modm1),xb2(modm2),…,xbk(modmk)这种形式的问题,并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数学九章》中提出了同余式xMil(modmi),i1,2,...,k,m,是k个两两互质的正整数,
mm1m2...mk,mmM,的一般解法.
同余性质在数论中是基础,许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念,方法,技巧求解.例如,数论不定方程中的费尔马问题,拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题,解析数论中,特征函数基本性质的推导等等在近现代数论研究中,有关质数分布问题,如除数问题,圆内格点问题,等差级数问题中的质数分布问题,an2bnc形式的质数个数问题,质数个数问题,质数增大的快慢问题,孚生质数问题都有一定程度的新成果出现,但仍有许多尚未解决的问题.
数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题,都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识,必须熟练掌握.所以,本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用,通过本文的阐述,希望可以为对数论有兴趣的读者,增加学习数论知识的兴趣,并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助
2同余的概念
给定一个正整数m,把它叫做模,如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同,我们就说对模m同余,记作ab(modm),如果余数不同,就说对模m不同余.由定义得出同余三条性质:
(1)aa(modm);
(2)ab(modm),贝Uba(modm);
定义也可描述为:
整数a,b对模m同余的充分必要条件是m/ab,即abmt,t是整数.
3同余的八条基本性质
由同余的定义和整数的性质得出[1]:
(1)若ab(modm),cd(modm),则acbd(modm)
若abc(modm),贝Uacb(modm)
(2)若ab(modm),cd(modm),贝Uacbd(modm)
特别地,若ab(modm),则akbk(modm)
(3)若Ai...kBi...k(modm),x,y,(modm),i0,1,...,n
则Ai...kXi1...XkkBi...kyi1...ykk(modm)
(4)若aaid,bbid,(d,m)i,ab(modm),贝Ua〔bi(modm)
(5)若ab(modm),k0,贝Uakbk(modm);
若ab(modm),d是a,b及m任一正公因数,则—°(modm)ddd
(6)若ab(modm,),ii,2,...,k,则ab(mod[mi,m2,...,mk])
其中[mi,此,…,mk]是mi,m2,...,mk,k个数最小公倍数
(7)若ab(modm),d/m,d0,则ab(modd)
(8)ab(modm),(a,m)(b,m)若d能整除m及a,b两数之一,则d必整除a,b另一个.
4同余性质在算术里的应用
4.1检查因数的一些方法
例1一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除.
证:
按照通常方法,把任意整数a写成十进位数形式,即
aan10nani10n1...a。
,0q10.
因101(mod3),所以由同余基本性质,即3/a当且仅当3a,;
同法可得9/a当且仅当9/a,,i0,1,...,n.
例2设正整数aan1000na”11000n1...a°,0a,1000,则7(或11或13)
整除a的充要条件是7(或11或13)整除(a°a2...)(涌a‘...)
(1)、,
i0,1,...,n.
证:
1000与-1对模7(或11或13)同余,
根据同余性质知,a与(司对模7(或11或13)同余
即7(或11或13)整除a当且仅当7(或11或13)整除
(1)iai,i0,1,...,n.
例3a=5874192,则%587419236,i0,1,...,n能被3,9整
除,当且仅当a能被3,9整除
解:
由例1证法可知,该结论正确.
例4a=435693,则ai43569330,i0,1,...,n能被3整除,但ai
不能被9整除当且仅当3是a的因数,9不是a的因数.
解:
由例1的证法可得.
例5a=637693,则a6371000693,ai69363756,i0,1,...,n能被
7整除而不能被11或13整除当且仅当7是a的因数但11,13不是a的因数.
解:
由例2的证法可知,该结论正确.
例6a=75312289,a75100023121000289耳2893127552,
i0,1,...,n能被13整除,而不能被7,11整除当且仅当13是a的因数,而7与
11不是a的因数.
解:
由例2的证法可知.
例7应用检查因数的方法求出下列各数标准分解式
①1535625②1158066
解:
654321
①15356251105103105106102105,
a153562527,9/279/1535625,
2.
1535625110005351000625,
(a0a2)a1625153591,由例2得13/91,7/91,
71535625,131535625,
乂5/1535625,951374095,1535625375,4095
5.375,37575,2575,
5
_54
153562535137.
②1158066110611055104810361016,
司11586627,9.2791158066,
2-
115806611000158100066,
(a。
a2)a166115891,由例2得7/91,1^91
71158066,13.1158066,
乂21158066,971321638,1158066707,7.707,1638
1158066297213101.
4.2弃九法(验证整数计算结果的方法)
我们由普通乘法的运算方法求出整数a,b的乘积是P,并令
a
an10n
n1
an〔10
a。
,
0
ai
10
b
bn10n
bn110n1..
.b0,
0
b
10,
P
加
Cn110n1.
..C0,
0
G
10,
如果(a)(bj)与q对模9不同余,那么所求得的乘积是错误的.
特别的,在实际验算中,若ai,bj,膝中有9出现,则可去掉(因90(mod9)).
例1a=28997,b=39495,按普通计算方法算得a,b乘积是P=1145236515,
按照上述弃九法a8(mod9),b3(mod9),P5(mod9).
但83与5对模9不同余,所以计算有误.
例2若a=28997,b=39495,P=1145235615,那么Pab?
解:
按照上述弃九法,a8(mod9),b3(mod9),P6(mod9).
虽然83与6对模9同余,但是由通常乘法计算得到ab1145236515,故Pab不成立.
注:
当使用弃九法时,得出的结果虽然是(q)(bj)Ck(mod9)也还不能完全肯
定原计算是正确的.
4.3同余性质的其他应用
例1求7除4750的余数.
12255
解:
由47
(2)2(mod7),47
(2)4(mod7),47
(2)1(mod7),
505162
47(475)472144(mod7),
即4750除以7余数为4.
例2试证:
形如8k7(kN)的整数不能表为三个平■方数之和
证:
假定N8k7a2b2c2(a,b,cZ),贝Ua2b2c27(mod8),但这不可
能.因为对模8而论.每一个整数最小非负余数只能是0,1,2,3,4,5,6,7中的一个数.
而020(mod8),121(mod8),224(mod8),321(mod8),420(mod8),
521(mod8),624(mod8),721(mod8).
因此,任一整数平■方对模8必与0,1,4三个数之一同余,而从{0,1,4}中任取三个数,其和都不可能与7对模8同余,所以对丁任何整数a,b,
c都有a2b2c2与7对模8不同余.
即形如8k7(kN)的整数不能表为三个平■方数之和
例3试证:
53533333能被10整除.
证:
由已知条件有533(mod10),532329(mod10),535357(mod10),
_44
534341(mod10),
(534)1553(34)153133(mod10)
也就是说,53533333能被10整除.
例4设a,b,cN且6/(abc),求证:
6/(a3b3c3)
证:
对模6来说每一个整数的最小非负数余数为0,1,2,3,4,5
030(mod6),131(mod6),232(mod6),333(mod6),434(mod6),
535(mod6),即对任何整数k,k3k(mod6)
a3a(mod6),b3b(mod6),c3c(mod6)
333
(a3b3c3)0(mod6)
n能被30整除.
(abc)(abc)(mod6)
乂(abc)0(mod6)
故6(a3b3c3)
例5若(5,n)1,证明n5
k(mod6)则k0,1,2,3,4,5
5一_5一_5_一一5_-5-
由050(mod6),151(mod6),252(mod6),353(mod6),454(mod6),
_5一一一―
55(mod6),
k5k(mod6)即n5k5kn(mod6),
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