高中数学教案随机事件与概率文档格式.docx
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(1)定义:
把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
(2)特点:
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点和样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
(2)表示:
一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的分类
(1)随机事件:
①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
②随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
③在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)必然事件:
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件:
空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为不可能事件.
名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性,它是随机事件的两个极端情况.
4.事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=∅,A∪B=Ω
(1)如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
(2)类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
三、合作探究
事件类型的判断
例1:
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若x∈R,则x2+1≥1.
(4)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
【解】由题意知
(1)
(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;
(3)中事件一定会发生,是必然事件;
由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以(4)中事件不可能发生,是不可能事件.
[规律方法]
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
样本点与样本空间
例2:
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?
“x<
3且y>
1”呢?
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?
“x=y”呢?
【解】
(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)样本点的总数为16.
(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:
(1,4),(2,3),(3,2),(1,4);
1”包含以下6个样本点:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3个样本点:
(1,4),(2,2),(4,1);
“x=y”包含以下4个样本点:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件;
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
事件的运算
例3:
盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
(1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
[变条件、变问法]在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A、B、E是什么运算关系?
C与F的交事件是什么?
解:
由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球三种情况,故A⊆C,B⊆C,E⊆C,所以C=A∪B∪C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个白球,所以C∩F={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
互斥事件与对立事件的判定
例4:
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【解】判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;
判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;
当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;
由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似;
②两事件相等的实质为相同事件,即同时发生或同时不发生.
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步,确定每个事件包含的结果;
第二步,确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两个事件不互斥,否则就是互斥的.
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步,判断是互斥事件;
第二步,确定两个事件必然有一个发生,否则只有互斥,但不对立.
【课堂检测】
1.下列事件:
①如果a>
b,那么a-b>
0;
②任取一实数a(a>
0且a≠1),函数y=logax是增函数;
③某人射击一次,命中靶心;
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球.
其中是随机事件的为()
A.①②B.③④
C.①④D.②③
解析:
选D.①是必然事件;
②中a>
1时,y=logax单调递增,0<
a<
1时,y=logax单调递减,故是随机事件;
③是随机事件;
④是不可能事件.
2.(2019·
四川省攀枝花市教学质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()
A.3件都是正品B.3件都是次品
C.至少有1件次品D.至少有1件正品
选D.从10件正品,2件次品,从中任意抽取3件,
A:
3件都是正品是随机事件,
B:
3件都是次品不可能事件,
C:
至少有1件次品是随机事件,
D:
因为只有2件次品,所以从中任意抽取3件必然会抽到正品,即至少有1件是正品是必然事件.故选D.
3.(2019·
广西钦州市期末考试)抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是()
A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品
选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个.故选D.
4.写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果(包括平局)________;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数________.
(1)对于甲队来说,有胜、平、负三种结果;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,其次品的个数可能为0,1,2,3,4,不可能再有其他结果.
答案:
(1)Ω={胜,平,负}
(2)Ω={0,1,2,3,4}
【第二课时】
1.了解基本事件的特点
2.理解古典概型的定义
3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题
1.基本事件
2.古典概型的定义
3.古典概型的概率公式
1.古典概型的定义是什么?
2.古典概型有哪些特征?
3.古典概型的计算公式是什么?
1.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:
样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:
每个样本点发生的可能性相等.
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:
有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但非等可能.
②样本点个数无限,但等可能.
③样本点个数无限,也不等可能.
2.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
P(A)=
=
.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
样本点的列举
一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个样本点?
(2)“2个都是白球”包含几个样本点?
(1)法一:
采用列举法.
分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,则样本点如下:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号,2号球).
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