导数大题练习带答案Word下载.docx

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（I）若曲线y=f（x）在点P（1,f

（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；

（n）若对于任意x0,都有fx2（a1）成立，试求a的取值范围；

（川）记g（x）=f（x）+x—b（b€R）.当a=1时，函数g（x）在区间e1,e上有两个零点,

求实数b的取值范围.

（1）若函数在区间（a,a1）（其中a0）上存在极值，求实数a的取值范围;

⑵如果当x1时，不等式f（x）恒成立，求实数k的取值范围.

x1

（n）当a

1时,f（x）

xlnxx,

f（x）

lnx2,

由f（x）0得x

2・e

6分

①当0

1评

m—时,e

在x[m,—）上f

e

（x）0，在x

（2,me

3]上f（x）0

因此，

f（x）在x

2处取得极小值，

也是最小值.

fmin（x）

~~2.

即Fmin（X）F

（1）

由于f（m）0,f（m3）

（m3）[ln（m3）1]

3，所以a3.……4分

②当m—时，f'

（x）0,因此f（x）在[口,m3]上单调递增,

所以fmin（x）f（m）m（lnm1）,

fmax（x）f（m3）（m3）[ln（m3）1]……9分

问题等价于证明

xlnxx三e

2（x（0,

））,10分

由（n）知a

1时，

f（x）xlnx

x的最小值是

11

2,当且仅当x2时取

ee

得，……11分

设G（x）二

2（x

（0,）），则G

/、1x

（x）x1

易知

Gmax（X）G

（1）—,当且仅当X1时取到，12分

心11

但—，从而可知对一切x（0,）,

都有lnx1x成立13分

2a

2、解：

（I）直线y=x+2的斜率为1.函数f（x）的定义域为（0,+8）,因为f'

（x）—

xx

a2x

所以f'

（1）—-1,所以a=1.所以f（x）—Inx2.f'

（x）一—.由

11xx

f'

（x）0解得x>

0；

由f'

（x）0解得0VxV2.所以f（X）的单调增区间是（2,+8）,

单调减区间是（0,2）.……4分

2aax22

（n）f'

（x）22，由f'

（x）0解得x；

由f'

（x）0解得

xxxa

222、、2

0x.所以f（x）在区间（一，）上单调递增，在区间（0,—）上单调递减.所以当x—

aaaa

时，函数f（x）取得最小值，yminf

（2）.因为对于x（0,）都有f（x）2（a1）成立,

所以f

（2）2（a1）即可

a

由aln2a解得0a-.所

22

.贝Ualn22（a

1）.

以a的取值范围是（0,—）.

……8分

（川）依题得g（x）-

X

lnxx2b，则g'

（x）

2X

x2

2.由g'

0解得x>

1；

由g'

（x）0解得0vxv1.所以函数g（x）在区间（0,1）为减函数，在区间（1,+8）为g（e1）0

增函数.又因为函数g（x）在区间［e一1,e］上有两个零点，所以g（e）0.解得

g

（1）0

1be1.所以b的取值范围是（1,e1］.13

分

3•解：

（I）f（x）的定义域为（0,+8）.1分

因为f'

（x）2x0，所以f（x）在［1,e］上是增函数，

当x=1时，f（X）取得最小值f

（1）=1.

所以f（X）在［1,e］上的最小值为1.3分

n）解法一：

1c/、2x2ax1

f'

（x）2（xa）

设g（x）=2x2—2ax+1,4分

依题意，在区间［；

2］上存在子区间使得不等式g（x）>

0成立.……5分

注意到抛物线g（x）=2x2—2ax+1开口向上，所以只要

g

（2）>

0，或g（?

）0即可

9

由g⑵〉0，即8—4a+1>

0,得a-,

4

113

由g

（2）0，即2a10,得a2，

所以a9,

9所以实数a的取值范围是（，）.

山、斗12x22ax1

解法二：

（x）2（xa）

依题意得，在区间［2,2］上存在子区间使不等式2x2—2ax+1>

0成立.

又因为g'

（川）因为f'

（x）——2ax1，令h（x）=2x2—2ax+1

1显然，当aw0时，在（0,+R）上h（x）>

0恒成立，f'

（x）>

0,此时函数f（x）没有

极值点；

9分

2当a>

0时，

（i）当0，即0a.2时，在（0,+1上h（x）>

0恒成立，这时f'

0,此

10分

时，函数f（x）没有极值点;

小值点.

②当0a1时，丄2,

在区间（0,2）和（―，）上，f（x）0；

在区间（2,—）上f（x）0,

aa

故f（x）的单调递增区间是（0,2）和（一，），单调递减区间是（2,—）.

6分

—1（x2）2

③当a—时，f（x）

22x

故f（x）的单调递增区间是（0,）.7分

④当a时，02,

在区间（0丄）和（2,）上,f（x）0;

在区间（-,2）上f（x）0,

故f（x）的单调递增区间是（0,-）和（2,），单调递减区间是

（-,2）.8分

（川）由已知，在（0,2］上有f（x）maxg（x）max.

9分

由已知，g（x）max0，由（II）可知，

①当a时，

f（x）在（0,2］上单调递增，

故f（x）max

f

（2）2a2（2a1）2ln2

2a22ln2,

所以，2a

22ln20，解得aln2

1，故ln21a—.…

•…10分

②当a-时，f（x）在（0,-］上单调递增，在［丄，2］上单调递减,

2aa

故f（x）maxf

（1）2—2lna.

a2a

111

由a-可知lnaln-曲1,2lna2，2lna2，

所以，221na0,f（x）max0,

综上所述，aln21.12分

因为f（x）

5、（I）直线y=x+2的斜率为1,函数f（x）的定义域为0,

~2—，所以f1

所以fX2Inx2,f

由fx0解得x>

2；

0解得0vxv2

所以f（x）得单调增区间是

2,

，单调减区间是

0,2

ax

由fx0解得x

2_

2;

由f

x0解得0

所以f（x）在区间（三,

）上单调递增，在区间

所以当x-时,

函数f（x）取得最小值ymin

2、

（0,—）上单调递减

f（3

因为对于任意x

0,都有fx2（a1）成立,

1）即可

则aln2

所以f（）2（a

2（a1），由aIna解得

所以a得取值范围是

（0,-）

（川）依题意得

2g（x）

lnx2b，则g（x）

x2

1,由gx0解得0vxv1

g（e1）0

2所以g（e）0解得1be1

eg

（1）0

所以b得取值范围是

（1,-e

1]

12分

6、解:

（1）因为f（x）1lnx,

x0,则

ln2x,-1分

当0x1时，f（x）

0;

当x

1时,

f（x）0.

•f（x）在（0,1）上单调

递增；

在

（1,

）上单调递减，

•••函数f（x）在x1处取得极大值.3分

•••函数f（x）在区间

（a,a）（其中a0）上存在极值,

a1,

1a-

解得

1,

（2）不等式

，即为（x1）（1Inx）k,

记g（x）

（x

1）（1

令h（x）

Inx,

•[h（x）]

min

h

（1）

•-[g（x）]

g

（1）

f（x）

10,从而g（x）

2,•••k2.

则h'

（x）1-

业•g（x）

[（x1）（1Inx）]x（x1）（1Inx）

xInx