人教A版数学必修1 模块复习课Word格式.docx
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(4)子集的性质
①若集合A中含有n个元素,则有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
②子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
③空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
④A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.集合的基本运算
(1)并集:
A∪B={x|x∈A或x∈B};
(2)交集:
A∩B={x|x∈A且x∈B};
(3)补集:
UA={x|x∈U且x
A}.
4.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A,B
设A,B是两个非空的数集
设A,B是两个非空的集合
对应关系f:
A→B
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应
名称
那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数
A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
f:
(1)函数的三要素:
对应法则f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}称为函数的三要素.
(2)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应法则分别相同,我们就说这两个函数是同一函数.
5.函数的单调性
单调性的定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,
(1)若当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),则说f(x)在区间D上是增函数;
(2)若当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2),则说f(x)在区间D上是减函数.
6.函数的奇偶性
(1)f(x)是奇函数⇔对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)⇔对定义域内任意x,都有f(-x)+f(x)=0⇔f(x)图象关于原点对称;
(2)f(x)是偶函数⇔对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)⇔对定义域内任意x,都有f(-x)-f(x)=0⇔f(x)图象关于y轴对称.
二、基本初等函数(Ⅰ)
1.分数指数幂
(1)a
=
(a>
0,m,n∈N*,且n>
1);
(2)a-
1).
2.根式的性质
(1)(
)n=a;
(2)当n为奇数时,
=a;
当n为偶数时,
=|a|=
3.有理指数幂的运算性质
(1)ar·
as=ar+s(a>
0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a>
(3)(ab)r=arbr(a>
0,b>
0,r∈Q).
4.指数式与对数式的互化
logaN=b⇔ab=N(a>
0,a≠1,N>
0).
5.对数的四则运算法则
若a>
0,a≠1,M>
0,N>
0,则
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga
=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
6.对数的换底公式及推论
(1)换底公式:
logab=
0,a≠1,c>
0,c≠1,b>
(2)常用推论:
①logab·
logba=1;
②logab·
logbc·
logca=1;
③logambn=
logab(a>
0,a≠1,b>
7.对数恒等式:
alogaM=M,logaax=x.
8.幂、指数、对数函数的图象及性质
(1)指数函数的图象和性质
a>
1
0<
a<
图象
定义域
值域
(0,+∞)
定点
过点(0,1),即x=0时,y=1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
(2)对数函数的图象和性质
性质
定义域:
值域:
过点(1,0),即当x=1时,y=0
x∈(0,1)时,y<
0;
x∈(1,+∞)时,y>
x∈(0,1)时,y>
x∈(1,+∞)时,y<
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
(3)五个常见幂函数的图象:
三、函数与方程
1.函数的零点
(1)概念:
函数f(x)的零点是使f(x)=0的实数x.
(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
(3)函数零点的判断
①若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·
f(b)<
0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二分法
对于区间[a,b]上连续的,且f(a)·
0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法,叫做二分法.
(2)用二分法求函数零点的近似值
第一步:
确定区间[a,b],验证:
f(a)·
0,给定精确度;
第二步:
求区间[a,b]的中点x1;
第三步:
计算f(x1);
若f(x1)=0,则x1就是函数零点;
若f(a)·
f(x1)<
0,则令b=x1;
若f(x1)·
0,则令a=x1;
第四步:
判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<
ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.
3.函数模型的应用
(1)三种常见函数模型的增长差异
性质
y=ax(a>
1)
y=logax(a>
y=xn(n>
0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
增长速度
ax的增长快于xn的增长,xn的增长快于logax的增长
增长后果
总会存在一个x0,当x>
x0时,就有ax>
xn>
logax
(2)函数模型的选取及数据拟合的一般步骤
1.任何一个集合都至少有两个子集.(×
)
[提示] 空集只有一个子集.
2.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×
[提示] 结合集合的描述法可知{x|y=x2+1}为函数y=x2+1的定义域;
{y|y=x2+1}为函数y=x2+1的值域;
{(x,y)|y=x2+1}为函数y=x2+1上的点集,故不正确.
3.若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×
[提示] {x2,1}={0,1},则x=0.
4.{x|x≤1}={t|t≤1}.(√)
5.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.
(√)
6.若A∩B=A∩C,则B=C.(×
[提示] B,C未必相等.
7.若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<
f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(×
[提示] 不能用特殊值判断函数的单调性.
8.函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×
[提示] [1,+∞)为函数的单调递增区间的子集.
9.函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×
[提示] 单调区间不能用“∪”连接.
10.闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.(√)
11.偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.
(×
[提示] 函数未必在原点处有定义.
12.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√)
13.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(√)
14.二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.(×
[提示] b=0时,二次函数y=ax2+bx+c,x∈R是偶函数.
15.
=(
)n=a(n∈N+).(×
[提示] 注意n的奇偶性.
16.若am<
an(a>
0,且a≠1),则m<
n.(×
[提示] 当a>
1时,命题成立.
17.函数y=2-x在R上为单调减函数.(√)
18.若MN>
0,则loga(MN)=logaM+logaN.(×
[提示] MN>
0未必M>
0.
19.对数函数y=logax(a>
0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(×
[提示] a>
1时,上述命题成立.
20.函数y=ln
与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.
21.对数函数y=logax(a>
0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),
,函数图象只在第一、四象限.(√)
22.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×
[提示] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
23.函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·
24.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<
0时没有零点.
25.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<
f(x)<
g(x).(√)
26.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(×
[提示] 降价后:
价格为100(1+10%)×
90%=99,比较两者间的关系,易知亏损.
27.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(×
[提示] 未必,如当x=2时,函数y=2x与y=x2函数值相等.
28.不存在x0,使ax0<
x
<
logax0.(×
[提示] 存在,结合函数图象可知.
29.在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>
1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>
0)的增长速度.(√)
30.“指数爆炸”是指数型函数y=a·
bx+c(a≠0,b>
0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(×
1.
1.(2018·
全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8
C.5D.4
A [由x2+y2≤3知,-
≤x≤
,-
≤y≤
.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9,故选A.]
2.(2017·
全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x<
2},B={x|3-2x>
0},则( )
A.A∩B=
B.A∩B=
C.A∪B=
D.A∪B=R
A [因为B={x|3-2x>0}=
,A={x|x<2},所以A∩B=
,A∪B={x|x<2}.故选A.]
3.(2018·
全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)
B [法一:
设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x
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