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③通过让学生亲身经历证明的过程,从中逐步体会反证法的内涵,
培养他们的逆向思维能力。
教学重点:
了解反证法的思考过程和特点。
教学难点:
对命题的否定的全面、准确考虑以及恰当地寻找矛盾。
教学问题诊断分析:
学生从初中开始就已初步接触过反证法,反证法的逻辑规则并不复
杂,但用反证法证明数学问题却让学生感到困难。
究其原因,反证
法主要是需要逆向思维,而在中小学阶段,逆向思维训练和发展都
是不充分的;
其次反证法中的假设部分涉及命题的否定知识,学生
在学习那部分的知识时就存在一定的困难。
教学过程设计:
1.情境引入
回忆综合法和分析证明问题的过程,思考并解决下面三个问题:
1.1小故事:
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李子树上
结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘?
王戎回答说:
“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
1.2桌面上有3枚正面朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,
那么无论怎样翻转,都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现
象吗?
1.3a、b、c三个人,a说b撒谎,b说c撒谎,c说a、b都撒谎。
则c在撒谎吗?
为什么?
问题:
解决以上三个问题,你的方法是怎样的?
与前面学习的方法
有什么不同?
设计意图:
通过小故事、例子,让学生在对比中发现新的推理方式。
2.数学建构
问题1:
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方
法称为间接证明,反证法是常见的一种间接证明方法。
你能给反证
法下个定义吗?
引导学生通过讨论,进行抽象概括。
3.数学应用
例1.已知a是整数,a2是偶数,求证a也是偶数。
分析证明过程,抽象概括用反证法的证明的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立;
即假设结论的反面成立;
(假设)
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(归谬)
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
(存真)
例2.已知直线a,b进和平面?
?
,如果a?
b?
,且a//b,求
证:
a//?
.
按照反证法的步骤规范进行证明,熟悉证明方法。
例3.求证;
2是无理数。
这是数学反证法的熟悉过程,也是概念的“精致过程”。
用反正法证明时,导出矛盾有哪几种可能?
问题2:
你认为
反证法的使用情形有哪些?
说明:
常用的正面叙述词语及其否定:
为了达到对反证法的“精致”需要对上述三个问题作出回
答,这样学生才能从本质上掌握反证法。
原文地址:
【案例】反证
法
“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘
取一个尝了一下,果然是苦李.
问题:
范文二:
举反例与反证法
李云庄
举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同,学生容易
混淆,为了使学生正确运用举反例和反证法是判断命题真假来解决
问题,就解决以下几个问题。
一、适用对象不同:
1、举反例:
适用假命题
2、反证法:
适用真命题
二、方法不同:
要证明一个命题为假命题,只要举出一个反例来说明命
题不成立即可.所以反例就是满足命题题设但不满足命题结论的一
个实例。
所举的反例要求简单、明确、有说服力.有的几何题要通
过图形来举反例。
举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本
质不同.所谓反例,通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例
就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理
数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“两个无理数之和是有理数”
的例子就可以确定这个命题是假命题.,如2与-2。
是间接证明的一种,常常用在直接证明有困难的那些命
题上,它的步骤为:
先假设结论不成立(即结论的反面是正确的)
(反设),然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或
已知条件相矛盾(归谬),说明假设的不成立,从而得出原结论是
正确的(结论).
三、反证法的关键是对结论否定的正确性,要熟悉常用的互为否定
的表述方式:
如
是——不是;
存在——不存在;
平行——不平行;
垂直——不垂直;
等于——不等于;
都是——不都是;
大于——不大于;
小于——不
小于;
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个;
至少有n个——至多有(n-1)个。
范文三:
反证法”教学案例
数学组梁华超
教学内容:
人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。
教学目的:
1、知识技能:
了解反证法,掌握反证法证题的过程。
2、过程方法:
通过学生装的独立思考、交流合作,让学生装经历问
题解决的过程,体验解决问题策略的多样性。
3、情感态度:
让学生感情感悟数学与日常生活的联系,激发学生学
习数学的兴趣。
重点难点:
反证法证明命题的过程
教学方法:
互动式教学
教学过程:
(一)导入(3分钟):
师:
中国古代有一个成语故事——自相矛盾,哪一位同学能讲述这
个故事
呢?
(让学生讲这个故事)
这个故事蕴含什么道理?
生:
这个故事告诉我们要实事求是,不要夸大其辞。
很好,虽然这个故事是贬义的,但在数学中,我们常常借鉴这
种“以
子之矛,攻子之盾”的做法来证明数学命题,这就是我们今天要学习
的“反证法”。
(板书课题)
(二)掀起你的盖头来——认识反证法(10分钟)。
请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。
”(课
件
演示)
(让学生分组讨论后交流)
写出每个人的生日,对比一下就知道了。
可以,有没有比他更简单的方法呢?
假设400人中每两人的生日不同,那么一年会有400天,这与
一年有365
天不符合,因此是不可能的。
很好,这位同学没有从正面去证明,而是从结论的反面出发,
引出矛盾,
从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
它的特点是快捷、
方便,请同
学们尝试证明命题:
一个三角形中不可能有两个直角。
(让学生模
仿1的证明方
式,尝试证明此命题。
)
假设有两个直角,则三角形的内角和就大于180度,这与三角
形内角和
定理矛盾,因此原命题成立
很好,通过以上两个命题的证明,同学们能不能归纳出反证法
的证题步
骤,各小组分开讨论,看看哪一个小组的结论最合理。
(让学生分
组讨论后进行
交流)
我们小组的讨论结果是:
很好,其他小组有没有补充的(让同学们各抒己见,互相补充,
归纳出
反证法证明命题的步骤)
在这三个步骤中,最重要的是第一步,如果找不到问题的反面,
证明就
没有力度,同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。
下面我们
一起来证明一
个命题,大家仔细体会反证法的证明过程:
已知:
a、b、c三点在
同一条直线上。
求证:
过a、b、c三点不能作圆。
(引导学生分析,写出假设,推出错误的结论,教师板书证明过程。
)
(三)小试牛刀——尝试反证法(12分钟)。
下面我们做一组练习
练习1:
用反证法证明下列命题(多媒体显示)。
①一个三角形中不可能有
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