第11讲几何图形计数wWord文件下载.docx
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解1对于两条线段,只要有一个端点不同,就是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数:
(1)以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF共5条;
(2)以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条;
(3)以C为左端点的线段有CD,CE,CF共3条;
(4)以D为左端点的线段有DE,DF共2条;
(5)以E为左端点的线段只有EF一条.
所以,不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条).
解2因为每两点可以连一条线段,我们先取一点,有6种取法;
再取第二点,有5种取法。
故一共有6×
5=30种取法。
但因先取A点再取B点和先取B点再取A点得到的是同一条线段,在上述计数中被重复计算了,故实际上是30÷
2=15种取法,即一共可以连45条线段。
评注:
1.一般地,如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=
。
2.有些题目,形式上和上题不同,但思维方式是一样的。
如下面一道题:
“n个人参加6个小组,如果其中每个人都参加且只参加2个小组,每2个小组共有且仅共有一名组员,求n.。
”
若将6个小组看成6个点,每两点的连线就是这两个小组的公共组员,于是n就是这样连接成的直线的条数了。
例2(第18届“迎春杯”数学竞赛试题)
如图DE、FG、HI、BC分别平行,图中梯形的个数一共有个.
解:
按照梯形两腰所在线段分类计数.
(1)平行线截线段AB与AC形成3+2+1=6(个)梯形;
(2)平行线截线段BD与CD形成2+1=3(个)梯形;
(3)平行线截线段BF与FC形成
(1)个梯形;
(4)平行线截线段CD与CE形成2+1=3(个)梯形;
(5)平行线截线段CF与CG形成1(个)梯形;
(6)平行线截线段CF与CJ形成1(个)梯形;
因此图中梯形的个数一共有6+3+1+3+1+1=15(个).
例3(1995年第5届华杯赛口试备用题)
由35个单位正方形组成的长方形中,如图所示有两个“A”,问包含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形(含正方形)有多少?
解1含两个A的长方形,与二,三两行有公共部分。
它们可能与第一行有公共部分,也可能与第一行没有有公共部分,故可以分为两类;
每一类的长方形,可能和第四,五两行有公共部分,或都没有公共部分,或仅与第四行有公共部分,而与第五行没有公共部分,即又分为三类。
故从行考虑共有(2×
3)种方法;
同理,从列来考虑有(3×
4)种方法;
于是,含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形(含正方形)有(2×
3)×
(3×
4)=72个。
解2要确定一个符合条件的长方形,需要有上下左右四条边。
选择上边所在的直线,有2种方法;
选择下边所在的直线,有3种方法;
选择左边所在的直线,有3种方法;
选择右边所在的直线,有4种方法。
于是,含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形(含正方形)有2×
3×
4=72个。
例4.如图,在一个8×
8的方格棋盘中,有多少个由4个小方格组成的“凸”字形图形?
解法1考虑下图“凸”字形中的A:
当A在方格棋盘的边上时,对应1个“凸”字形,共有6×
4=24个;
当A在方格棋盘的内部时,对应4个“凸”字形,共有6×
6×
4=144个。
于是共有24+144=168个。
解法2在每个2×
3的长方形中可以找到2个“凸”字形图形。
而在8×
8方格棋盘中2×
3的长方形有(6×
7)×
2=48(个)。
所以可以找到84×
2=168个“凸”字形图形。
例5(1996年汉城国际数学邀请赛中国集训队试题)
如图,a∥b,直线a上有十个点:
A1,A2,…,A10;
直线b上有九个点:
B1,B2,…,B9。
将a上的每一个点与b上每一个点相连,可以得到许多线段,已知没有三条线段交于一点,问这些线段一共有多少个交点?
解.在a,b上各取两点,四点确定唯一的一个交点。
从a上取两点有10×
9÷
2=45种方法,从b上取两点有9×
8÷
2=36种方法,一共可以得到45×
36=3240个交点。
例6.如图,将边长为1的等边三角形三角形的每一边4等分,过各分点作
另外两边的平行线,在所得的图形中有多少个平行四边形?
解1将尖角向上的平行四边形分成三类,分别计算:
平行四边形两边长都为1的,有6个;
平行四边形一边长为1,另一边长为2的,有6个;
平行四边形两边长都为3的,有3个;
一共有15个.
同理,夹角指向右下方或左下方的也各有15个,故一共有45个平行四边形.
解2图中每个平行四边形有一对锐角顶点,它们不在同一条直线上;
反过来,任何两个不在同一条直线上的点可确定一个边与△ABC的两条边分别平行的平行四边形.
图中共有1+2+3+4+5=15个交点,共有1+2+…+14=105个点对.其中两点在同一直线上的应该删去.因平行于AB的直线上依次有2,3,4,5个点,从而共应删去
[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)]=60个点对.故图中共有105-60=45个平行四边形.
评注解1是分类计数的,这种解法比较烦琐,当数字较大时容易出错,且不易推广到一般.
解2是利用对应法来解题的,即找出点对的个数和平行四边形个数的对应关系,将对平行四边形计数的问题转化为对点对的计数问题来解决.这种解法容易推广到一般,本题中若将三角形的每一边n等分,则平行四边形的个数是
(n-1)n(n+1)(n+2).
例7.(1990年北京市初中数学竞赛试题)
如图,我们规定在边长为1的正方形方格纸上,从格点O到与它相邻的格点A,B,C,D,E,F,G,H的直线运动形成的线段分别记为数码0,1,2,3,4,5,6,7。
如以O为始点,数码2代表线段OC,数码7代表线段OH等等,在图2中画出了从P点出发,依次按数码001223355的轨线图形。
请你在图3的边长为1的正方形方格纸上,从点M出发,依次按数码006756442312画出相应的轨线图形,以这轨线图形周界和内部的格点为顶点,可画出面积不小于2的正方形的个数是个。
(图1)(图2)(图3)
解.006756442312所对应的轨线图形为下图中的粗线所表示的封闭折线。
在这个图形的边界上有12个格点,内部有5个格点。
这17个点可以形成面积不小于2的正方形顶点的四点组13个,其中:
①面积为2的5个;
②面积为4的3个;
③面积为5的4个;
④面积为8的1个。
例8.(2003年第8届全国数学公开赛试题)
在一个平面内,画1条直线,能把平面分成1+1=2部分;
画2条直线,最多能把平面分成1+1+2=4部分;
画3条直线,最多能把平面分成1+1+2+3=7部分;
画4条直线,最多能把平面分成1+1+2+3+4=11部分;
……照此规律计算下去,画2003条直线,最多能把平面分成___________部分.
解1条直线最多将平面分成2个部分;
2条直线最多将平面分成4个部分;
3条直线最多将平面分成7个部分;
4条直线最多将平面分成11个部分.
现在添上第5条直线.它与前面的4条直线最多有4个交点,这4个交点将第5条直线分成5段,其中每一段将原来所在平面部分一分为二,所以5条直线最多将平面分成11+5=16个部分.
完全类似地,5条直线最多将平面分成11+5=16个部分;
6条直线最多将平面分16+6=22个部分;
7条直线最多将平面分成22+7=29个部分;
8条直线最多将平面分成29+8=37个部分等等.
一般地,n条直线最多将平面分成1+(1+2+3+…+n)=
个部分.
当n=2003时,
=1+2003×
1002=2007007
即2003条直线,最多能把平面分成2007007部分.
原版赛题传真
同步训练
一选择题
1.平面上有2000条直线,它们每两条都不平行,每三条都不交于一点,它们彼此相交而成的线段的条数是()
(A)2000×
1999(B)1999×
1998×
1000
(C)2000×
1999(D)2000×
2001
1.B
每条直线上有1999个交点,有1+2+…+1998=1998×
1999÷
2条线段,2000条直线上共有(1998×
2)×
2000=1998×
1999×
1000条线段。
2.(2004年江苏省第19届初中数学竞赛试题)
如图是3×
3正方形方格,将其中两个方格涂黑有若干种涂法.约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例如
就视为同一种图案,则不同的涂法有()
(A)4种(B)6种(C)8种(D)12种。
2.C
涂两个角上的方块的,有2种;
涂两条边上中间的方块的,有2种;
涂两方块中有正中一块的,有2种;
共6种。
3.(2004年北京初二数学竞赛试题)
平面内的7条直线任两条都相交,交点数最多有a个,最少有b个.则a+b等于()
(A)42(B)41(C)21(D)22
3.D
7条直线任两条都相交,且无3点共线时,交点数最多,这时每条直线上有6个交点,一共有a=
=21个交点;
7条直线交于一点时,交点数最少,b=1.
故a+b=21+1=22.
4.(2002年第17届江苏省初中数学竞赛试题)
如图,有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直角三角形的两条直角边不相等)。
把两个三角相等的边靠在一起(两张纸片不重叠),可以拼
出若干种图形,其中,形状不同的四边形有()
(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种
4.B
两条较长的直角边靠在一起的,1种;
两条较短的直角边靠在一起的,1种;
两条斜边靠在一起的,2种。
共4种
5.(2001年第13届五羊杯初中数学竞赛试题)
如图,∠AOB的两边上分别有5个点,A1,A2,A3,A4,A5,和四个点B1,B2,B3,B4,线段AiBj(1≤i≤5,1≤j≤4)之中,在∠AOB内及边上不相交的线段称为“和睦线对”(不分顺序),例如A5B4和A4B3便是“和睦线对”。
那么图中一共有()个“和睦线对”
(A)100(B)90(C)66(D)60
5.D
在两边上各取两点,四点恰有一个“和睦线对”。
从OA上取两点有5×
4÷
2=10种方法,从OB上取两点有4×
3÷
2=6种方法,图中一共有10×
6=60个“和睦线对”。
二填空题
6.(1988年上海市初一数学竞赛试题)
如图是由9个相同的带有对角线的小
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- 11 几何图形 计数