高三高考数学国步分项分类题及析答案呀Word格式文档下载.docx
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=-3,
又=(5,3,-5),∥\'
,
∴AB∥CD.
4.(2011·
天津模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于( )
C.D.
[答案] D
[解析] 由于a、b、c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即有解得m=,n=,λ=.
5.(2011·
济宁月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,=,点N为B1B的中点,则|MN|=( )
A.aB.a
C.aD.a
[答案] A
[解析] =-=-
=+-
=+-.
∴||==a.
6.(2012·
丽水调研)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )
A.(1,1,1)B.(1,1,)
C.(1,1,)D.(1,1,2)
[解析] 由题意知A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,2m)(m>
0),则E(1,1,m),∴=(-1,1,m),=(0,0,2m),∴||=,||=,·
=2m2,
∵cos〈,〉=,∴=,
解之得m=1,故选A.
7.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·
(2b)=-2,则x=______.
[答案] 2
[解析] ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴(c-a)·
(2b)=(0,0,1-x)·
(2,4,2)=2(1-x)=-2,解得x=2.
8.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)之间夹角为钝角,则x的取值范围为________.
[答案]
[解析] ∵a与b的夹角为钝角,
∴a·
b<
0,
∴3x2-10x-8<
0,∴-<
x<
4,
又当a与b方向相反时,a·
∴存在λ<
0,使a=λb,
∴(3x,-5,4)=(λx,2λx,-2λ),
∴此方程组无解,
∴这样的λ不存在,综上知-<
4.
9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M、N分别在直线AA1和BD1上运动.当M、N在何位置时,|MN|最小,且|MN|的最小值是________.
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设M(1,0,t),=λ,则0≤t≤1,0≤λ≤1,
设N(x0,y0,z0),则(x0-1,y0-1,z0)=λ(-1,-1,1),
∴∴N(1-λ,1-λ,λ),
∴=(-λ,1-λ,λ-t),||2=λ2+(1-λ)2+(λ-t)2=2λ2-2λ+1+(λ-t)2=2(λ-)2+(λ-t)2+,
当且仅当λ==t时,||2取到最小值,
∴||的最小值为.
10.(2011·
福州模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以、为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=且a分别与、垂直,求向量a的坐标.
[解析] =(-2,-1,3),=(1,-3,2).
(1)因为cos〈,〉=
==.
所以sin〈,〉=.
所以S=||·
||sin〈,〉=7.
即以、为边的平行四边形面积为7.
(2)设a=(x,y,z),由|a|=,a⊥,a⊥,
可得
⇒或
所以a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).
能力拓展提升
11.
三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,已知CA=CB=CC1,AC⊥BC,E、F分别是A1C1、B1C1的中点.则AE与CF所成角的余弦值等于( )
[解析] 以C为原点,、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AC=1,则A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0),C1(0,0,1),A1(1,0,1),∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点,∴E(,0,1),F(0,,1),∴=(-,0,1),=(0,,1),
∴cos〈,〉===,故选A.
12.(2011·
天津模拟)正四面体ABCD的棱长为2,E、F分别为BC、AD的中点,则EF的长为( )
A.1B.
C.D.2
[解析] =+=-(+)+,
由条件知||=||=||=2,·
=·
=2,
∴||2=[||2+||2+||2+2·
-2·
]=2,∴||=.
13.(2012·
中山市模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+cB.a+b+c
C.-a-b+cD.a-b+c
[解析] =+=+(+)
=+(-+)=c-a+b,故选A.
14.(2011·
泰安模拟)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于________.
[答案] -a+b+c
[解析] =-=(+)-
=(b+c)-a=-a+b+c.
[点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似,要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则.
15.(2011·
东营期末)若a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.
(3)以坐标原点O为起点作向量=a,=b,求O到直线AB的距离.
[解析] ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),
a-3b=(1+3×
2,5-3×
3,-1-3×
5)
=(7,-4,-16).
(1)∵(ka+b)∥(a-3b),
∴==,解得k=-.
(2)∵(ka+b)⊥(a-3b),
∴(k-2)×
7+(5k+3)×
(-4)+(-k+5)×
(-16)=0.
解得k=.
(3)由条件知A(1,5,-1),B(-2,3,5),
∴=(-1,-5,1),=(-3,-2,6),
·
=19,||=7,
∴O到直线AB的距离d==.
16.
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°
,BC綊AD,BE綊FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(3)设AB=BE,证明:
平面ADE⊥平面CDE.
[解析]
由题设知,FA、AB、AD两两互相垂直.如图,以A为坐标原点,射线AB为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
(1)设AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c),F(0,0,2c).
所以,=(0,b,0),=(0,b,0),
于是=.又点G不在直线BC上,则GH綊BC,
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:
由题设知,F(0,0,2c),所以
=(-a,0,c),=(-a,0,c),=,
又C∉EF,H∈FD,故C、D、F、E四点共面.
(3)由AB=BE,得c=a,所以=(-a,0,a),=(a,0,a),
又=(0,2b,0),因此·
=0,·
=0,
即CH⊥AE,CH⊥AD,
又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE.
故由CH⊂平面CDFE,得平面ADE⊥平面CDE.
[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点,容易将各点的坐标表示出来时,可用向量法求解.如果其所讨论关系不涉及求角,求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时,可不用向量法求解,本题解答如下:
(1)由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH綊AD.
又BC綊AD,故GH綊BC,
由BE綊AF,G是FA的中点知,BE綊GF,
所以EF∥BG,
由
(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.
又点D直线FH上,
所以C、D、F、E四点共面.
(3)连结EG,由AB=BE,BE綊AG,及∠BAG=90°
知四边形ABEG是正方形,
故BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,
因此EA是ED在平面FABE内的射影,∴BG⊥ED.
又EC∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.
由
(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.由
(2)知F∈平面CDE,故CH⊂平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.
1.(2011·
郑州一中月考)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·
c=7,则a与c的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
[解析] a+b=(-1,-2,-3)=-a,
故(a+b)·
c=-a·
c=7,得a·
c=-7,
而|a|==,
所以cos〈a,c〉==-,〈a,c〉=120°
.
2.在空间四边形ABCD中,·
+·
的值为( )
A.0B.
C.1D.无法确定
[解析] ·
(-)+(-)·
+(-)·
-·
=0,故选A.
3.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c,在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N,使=k,=k(0≤k≤1),求证:
三向量、a、c共面.
[解析] =+=+k
=+k(-)
=a+k(b-a)=(1-k)a+kb,
=k=k(+)=kb+kc,
=-=(1-k)a-kc.
∵向量a和c不共线,∴、a、c共面.
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