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小数的读法:
整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读。
小数的写法:
小数点写在个位右下角。
小数的性质:
小数末尾添0去0大小不变。
化简
小数点位置移动引起大小变化:
右移扩大左缩小,1十2百3千倍。
小数大小比较:
整数部分大就大;
整数相同看十分位大就大;
以此类推。
分数和百分数
■分数和百分数的意义
1、分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数。
在分数里,表示把单位“1”平均分成多少份的数,叫做分数的分母;
表示取了多少份的数,叫做分数的分子;
其中的一份,叫做分数单位。
2、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
也叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式,而用特定的“%”来表示。
百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系,后面不能带单位名称。
3、百分数表示两个数量之间的倍比关系,它的后面不能写计量单位。
4、成数:
几成就是十分之几。
■分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成:
真分数、假分数、带分数
■分数和除法的关系及分数的基本性质
1、除法是一种运算,有运算符号;
分数是一种数。
因此,一般应叙述为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子。
2、由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
3、分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据。
■约分和通分
1、分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
2、把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
3、约分的方法:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;
通常要除到得出最简分数为止。
4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
5、通分的方法:
先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
■倒数
1、乘积是1的两个数互为倒数。
2、求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。
3、1的倒数是1,0没有倒数
■分数的大小比较
1、分母相同的分数,分子大的那个分数就大。
2、分子相同的分数,分母小的那个分数就大。
3、分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小。
4、如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大;
如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大。
■百分数与折数、成数的互化:
例如:
三折就是30%,七五折就是75%,成数就是十分之几,如一成就是牐闯砂俜质褪?
0%,则六成五就是65%。
■纳税和利息:
税率:
应纳税额与各种收入的比率。
利率:
利息与本金的百分率。
由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式:
利息=本金×
利率×
时间
百分数与分数的区别主要有以下三点:
1.意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。
”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。
如:
可以说1米是5米的20%,不可以说“一段绳子长为20%米。
”因此,百分数后面不能带单位名称。
分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。
分数不仅可以表示两数之间的倍数关系,如:
甲数是3,乙数是4,甲数是乙数的?
;
还可以表示一定的数量,如:
犌Э恕米等。
2.应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。
而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
3.书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。
百分之四十五,写作:
45%;
百分数的分母固定为100,因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;
百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:
真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。
数的整除
■整除的意义
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)
除尽的意义甲数除以乙数,所得的商是整数或有限小数而余数也为0时,我们就说甲数能被乙数除尽,(或者说乙数能除尽甲数)这里的甲数、乙数可以是自然数,也可以是小数(乙数不能为0)。
■约数和倍数
1、如果数a能被数b整除,a就叫b的倍数,b就叫a的约数。
2、一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本身,它没有最大的倍数。
■奇数和偶数
1、能被2整除的数叫偶数。
0、2、4、6、8、10……注:
0也是偶数2、不能被2整除的数叫基数。
1、3、5、7、9……
■整除的特征
1、能被2整除的数的特征:
个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征:
个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征:
一个数的各个数位上的数之和能被3整除,这个数就能被3整除。
■质数和合数
1、一个数只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数(素数)。
2、一个数除了1和它本身外,还有别的约数,这个数叫做合数。
3、1既不是质数,也不是合数。
4、自然数按约数的个数可分为:
质数、合数
5、自然数按能否被2整除分为:
奇数、偶数
■分解质因数
1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数。
18=3×
3×
2,3和2叫做18的质因数。
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
3、几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
4、特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。
(1)如果几个数中,较大数是较小数的倍数,较小数是较大数的约数,则较大数是它们的最小公倍数,较小数是它们的最大公约数。
(2)如果几个数两两互质,则它们的最大公约数是1,小公倍数是这几个数连乘的积。
■奇数和偶数的运算性质:
1、相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数。
2、奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数;
奇数-奇数=偶数,
奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数-偶数=偶数;
奇数×
奇数=奇数,奇数×
偶数=偶数,偶数×
偶数=偶数。
整数、小学、分数四则混合运算
■四则运算的法则
1、加法a、整数和小数:
相同数位对齐,从低位加起,满十进一b、同分母分数:
分母不变,分子相加;
异分母分数:
先通分,再相加
2、减法a、整数和小数:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位不够减,退一当十再减b、同分母分数:
分母不变,分子相减;
先通分,再相减
3、乘法a、整数和小数:
用乘数每一位上的数去乘被乘数,用哪一位上的数去乘,得数的末位就和哪一位对起,最后把积相加,因数是小数的,积的小数位数与两位因数的小数位数相同b、分数:
分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
能约分的先约分,结果要化简
4、除法a、整数和小数:
除数有几位,先看被除数的前几位,(不够就多看一位),除到被除数的哪一位,商就写到哪一位上。
除数是小数是,先化成整数再除,商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数(0除外),等于甲数除以乙数的倒数
■运算定律
加法交换律a+b=b+a
结合律(a+b)+c=a+(b+c)
减法性质a-b-c=a-(b+c)
a-(b-c)=a-b+c
乘法交换律a×
b=b×
a
结合律(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
分配律(a+b)×
c+b×
c
除法性质a÷
c)=a÷
b÷
a÷
(b÷
b×
(a+b)÷
c=a÷
c+b÷
(a-b)÷
c-b÷
商不变性质m≠0a÷
b=(a×
m)÷
m)=(a÷
m)
■积的变化规律:
在乘法中,一个因数不变,另一个因数扩大(或缩小)若干倍,积也扩大(或缩小)相同的倍数。
推广:
一个因数扩大A倍,另一个因数扩大B倍,积扩大AB倍。
一个因数缩小A倍,另一个因数缩小B倍,积缩小AB倍。
■商不变规律:
在除法中,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。
被除数扩大(或缩小)A倍,除数不变,商也扩大(或缩小)A倍。
被除数不变,除数扩大(或缩小)A倍,商反而缩小(或扩大)A倍。
■利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。
但在有余数的除法中要注意余数。
8500÷
200=可以把被除数、除数同时缩小100倍来除,即85÷
2=,商不变,但此时的余数1是被缩小100被后的,所以还原成原来的余数应该是100。
简易方程
■用字母表示数
用字母表示数是代数的基本特点。
既简单明了,又能表达数量关系的一般规律。
■用字母表示数的注意事项
1、数字与字母、字母和字母相乘时,乘号可以简写成“•“或省略不写。
数与数相乘,乘号不能省略。
2、当1和任何字母相乘时,“1”省略不写。
3、数字和字母相乘时,将数字写在字母前面。
■含有字母的式子及求值
求含有字母的式子的值或利用公式求值,应注意书写格式
■等式与方程
表示相等关系的式子叫等式。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件:
一是含有未知数;
二是等式。
所以,方程一定是等式,但等式不一定是方程。
■方程的解和解方程
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。
求方程的解的过程叫解方程。
■在列方程解文字题时,如果题中要求的未知数已经用字母表示,解答时就不需要写设,否则首先演将所求的未知数设为x。
■解方程的方法
1、直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。
如x-8=12
加数+加数=和一个加数=和-另一个加数
被
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