acm 竞赛题知识点总结Word文档格式.docx

acm 竞赛题知识点总结Word文档格式.docx

《acm 竞赛题知识点总结Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《acm 竞赛题知识点总结Word文档格式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

cout<

<

d[99%3]<

endl;

//Fibonacci...

return0;

}

inti,,j,d[2][100];

//比d[100][100]省多了

for（i=1;

i<

100;

i++）

for（j=0;

j<

j++）

d[i%2][j]=d[（i-1）%2][j]+d[i%2][j-1];

//DP....

滚动数组举个简单的例子：

inti,d[100];

d[0]=1;

d[1]=1;

for（i=2;

d[i]=d[i-1]+d[i-2];

printf（"

%d"

d[99]）;

上面这个循环d[i]只需要解集中的前2个解d[i-1]和d[i-2];

为了节约空间用滚动数组的方法

d[i%3]=d[（i-1）%3]+d[（i-2）%3];

d[99%3]）;

注意上面的运算，我们只留了最近的3个解，数组好象在“滚动‿一样，所以叫滚动数组

对于二维数组也可以用这种方法例如：

inti,j,d[100][100];

d[i][j]=d[i-1][j]+d[i][j-1];

上鿢的d[i][j]忪便赖于d[i-1][j],d[i][j-1];

迿用滚动数组

滚动数组实际是一种节约空间的办法，时间上没什么优势，多用于DP中，举个例子先：

一个DP，平常如果需要1000×

1000的空间，其实根据DP的特点，能以2×

1000的空间解决问题，并且通过滚动，获得和1000×

1000一样的效果。

背包问题

这是最基础的背包问题，特点是：

每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：

即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

所以有必要将它详细解释一下：

“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；

如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O（VN），其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。

那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？

事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。

伪代码如下：

fori=1..N

forv=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。

如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

AC自动机

首先简要介绍一下AC自动机：

Aho-Corasickautomation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。

一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。

要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。

AC自动机算法分为3步：

构造一棵Trie树，构造失败指针和模式匹配过程。

如果你对KMP算法和了解的话，应该知道KMP算法中的next函数（shift函数或者fail函数）是干什么用的。

KMP中我们用两个指针i和j分别表示，A[i-j+1..i]与B[1..j]完全相等。

也就是说，i是不断增加的，随着i的增加j相应地变化，且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前j个字符，当A[i+1]≠B[j+1]，KMP的策略是调整j的位置（减小j值）使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配，而next函数恰恰记录了这个j应该调整到的位置。

同样AC自动机的失败指针具有同样的功能，也就是说当我们的模式串在Tire上进行匹配时，如果与当前节点的关键字不能继续匹配的时候，就应该去当前节点的失败指针所指向的节点继续进行匹配。

看下面这个例子：

给定5个单词：

say 

she 

shr 

he 

her，然后给定一个字符串yasherhs。

问一共有多少单词在这个字符串中出现过。

我们先规定一下AC自动机所需要的一些数据结构，方便接下去的编程。

1 

const 

int 

kind 

= 

26;

2 

struct 

node{ 

3 

node 

*fail;

//失败指针

4 

*next[kind];

//Tire每个节点的个子节点（最多个字母）

5 

count;

//是否为该单词的最后一个节点

6 

node（）{ 

//构造函数初始化

7 

fail=NULL;

8 

count=0;

9 

memset（next,NULL,sizeof（next））;

10 

} 

11 

}*q[500001];

//队列，方便用于bfs构造失败指针

12 

char 

keyword[51];

//输入的单词

13 

str[1000001];

//模式串

14 

head,tail;

//队列的头尾指针

有了这些数据结构之后，就可以开始编程了：

首先，将这5个单词构造成一棵Tire，如图-1所示。

void 

insert（char 

*str,node 

*root）{ 

*p=root;

i=0,index;

while（str[i]）{ 

index=str[i]-'

a'

;

if（p->

next[index]==NULL） 

p->

next[index]=new 

node（）;

p=p->

next[index];

i++;

count++;

//在单词的最后一个节点count+1，代表一个单词

在构造完这棵Tire之后，接下去的工作就是构造下失败指针。

构造失败指针的过程概括起来就一句话：

设这个节点上的字母为C，沿着他父亲的失败指针走，直到走到一个节点，他的儿子中也有字母为C的节点。

然后把当前节点的失败指针指向那个字母也为C的儿子。

如果一直走到了root都没找到，那就把失败指针指向root。

具体操作起来只需要：

先把root加入队列（root的失败指针指向自己或者NULL），这以后我们每处理一个点，就把它的所有儿子加入队列，队列为空。

build_ac_automation（node 

*root）{

int 

i;

root->

q[head++]=root;

while（head!

=tail）{ 

*temp=q[tail++];

*p=NULL;

for（i=0;

i++）{ 

if（temp->

next[i]!

=NULL）{ 

if（temp==root） 

temp->

next[i]->

fail=root;

else{ 

p=temp->

fail;

while（p!

15 

fail=p->

next[i];

16 

break;

17 

18 

19 

20 

if（p==NULL） 

21 

22 

q[head++]=temp->

23 

24