最新人教版八年级数学上册角平分线的性质 学案1Word文档下载推荐.docx
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角平分线加垂线,三线合一试试看.
角平分线具有两条性质:
a.对称性;
b.角平分线上的点到角两边的距离相等.
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种;
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边).
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线,其它情况下考虑构造对称图形.
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件.
四、典例探究
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1.添加一条垂线为辅助线
【例1】
(2014秋•西城区校级期中)如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.
求证:
∠PCB+∠BAP=180°
.
总结:
已知一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段,可得垂线段相等,或利用角平分线的性质可证三角形全等,继而可证边角相等.
练1.(2014秋•鼓楼区校级期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交DC于点E,连接BE,且AE⊥BE,求证:
AB=AD+BC.
2.添加两条垂线为辅助线
【例2】
(2014秋•西城区校级期中)如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
∠BAD+∠BCD=180°
当题目已知条件中出现角平分线的时候,我们应立刻想到它的两个性质:
1.把已知角平分成两个相等的小角;
2.角平分线性质定理,若此时作角的两边的垂线,则两条垂线段相等.
练2.(2010秋•柘城县校级月考)如图:
在△ABC中,AD是它的角平分线.求证:
S△ABD:
S△ACD=AB:
AC.
五、课后小测
解答题
1.(2014秋•五华区校级期中)四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°
.求证:
2AE=AB+AD.
2.(2014秋•启东市校级期中)如图,四边形ABDC中,∠D=∠ABD=90゜,点D为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:
OC平分∠ACD;
(2)求证:
OA⊥OC;
(3)求证:
AB+CD=AC.
3.(2011秋•兴庆区校级月考)如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且AB+BC=2BE.
;
(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°
”互换,结论还成立吗?
请说明理由.
4.如图所示,在△ABC中,已知∠ABC和△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P.求证:
点P到AB、AC的距离相等.
5.如图,CE=BF,且S△DCE=S△DBF,求证:
AD平分∠BAC.
6.如图,BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线.求证:
P点在∠BAC的平分线上.
7.(2014秋•启东市校级月考)如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.
点C在∠AOB的平分线上.
8.(2014秋•启东市校级月考)已知:
∠AOB=90°
,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA、OB交于C、D,PC和PD有怎样的数量关系,请说明理由.
9.(2012秋•房山区期末)已知在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB与M,DN⊥AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系?
试证明你的发现.
10.(2013秋•海安县月考)如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.
11.(2012春•定陶县期末)如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,且AB=AD,BC=DC,CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E、F.
CE=CF.
典例探究答案:
【例1】【解析】过点P作PE⊥BA于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF,然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB,再根据平角的定义解答.
证明:
如图,过点P作PE⊥BA于E,
∵∠1=∠2,PF⊥BC于F,
∴PE=PF,
在Rt△PEA与Rt△PFC中,
,
∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL),
∴∠PAE=∠PCB,
∵∠BAP+∠PAE=180°
∴∠PCB+∠BAP=180°
点评:
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
练1.【解析】过点E作EF⊥AB于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF,然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF,全等三角形对应边相等可得AD=AF,再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF,再利用AB=AF+BF等量代换即可得证.
如图,过点E作EF⊥AB于F,
∵AE平分∠BAD,
∴DE=EF,
在Rt△ADE和Rt△AFE中,
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
∴∠AED=∠AEF,AD=AF,
∵AE⊥BE,
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°
∴∠BEC=∠BEF,
又∵EF⊥AB,CE⊥BC,
∴BC=BF,
∵AB=AF+BF,
∴AB=AD+BC.
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
【例2】【解析】首先过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,由BD平分∠ABC,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由AD=CD,即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF,则可证得∠BAD+∠BCD=180°
过点D作DE⊥BC于E,过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F,
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
在RtCDE和Rt△ADF中,
∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL),
∴∠FAD=∠BCD,
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠FAD=180°
此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,掌利用全等把相关角进行转化,使问题得解.
练2.【解析】根据AD平分∠BAC,作DE⊥AB,DF⊥AC,由角平分线性质可知DE=DF,△ABD与△ACD等高,面积比即为底边的比.
作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E、F,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∴S△ABD:
S△ACD=(
×
AB×
DE):
(
AC×
DF)=AB:
本题考查了角平分线性质,三角形计算面积的方法,关键是作辅助线,得出角平分线上一点到角的两边距离相等,又是这两个三角形的高.
课后小测答案:
1.【解析】证明:
过C作CF⊥AD于F,
∵AC平分∠BAD,
∴∠FAC=∠EAC,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠DFC=∠CEB=90°
∴△AFC≌△AEC,
∴AF=AE,CF=CE,
∵∠ADC+∠B=180°
∴∠FDC=∠EBC,
∴△FDC≌△EBC
∴DF=EB,
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE,
∴2AE=AB+AD.
2.【解析】
(1)过点O作OE⊥AC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE,从而求出OE=OD,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明;
(2)利用“HL”证明△ABO和△AEO全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE,同理求出∠COD=∠COE,然后求出∠AOC=90°
,再根据垂直的定义即可证明;
(3)根据全等三角形对应边相等可得AB=AE,CD=CE,然后证明即可.
(1)过点O作OE⊥AC于E,
∵∠ABD=90゜,OA平分∠BAC,
∴OB=OE,
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD,
∴OC平分∠ACD;
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL),
∴∠AOB=∠AOE,
同理求出∠COD=∠COE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=
180°
=90°
∴OA⊥OC;
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴AB=AE,
同理可得CD=CE,
∵AC=AE+CE,
∴AB+CD=AC.
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,到角的两边距离相等的点在角的平分线上,以及全等三角形的判定与性质,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
3.【解析】
(1)首先过D作DF⊥BA,垂足为F,再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE,再证明Rt△BFD≌Rt△BED,可得FB=BE,即AB+AF=BE,进而得到AF=EC,然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD,再根据∠BAD+∠FAD=180°
,可得∠BAD+∠BCD=180°
(2)过D作DF⊥BA,垂足为F,首先证明∠DCE=∠FAD,再证明△AFD≌△CED,可得AF=EC,然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE,再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE.
(1)证明:
过D作DF⊥BA,垂足为F,
∵AB+BC=2BE,
∴AB=BE+BE﹣BC,
AB=BE+BE﹣BE﹣EC,
AB=BE﹣EC,
AB+EC=BE,
∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,
在Rt△BFD和Rt△BED中
∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),
∴FB=BE,
∴AB+AF=BE,
又∵AB+EC=BE,
∴AF=EC,
在△AFD和△CED中,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴∠DCE=∠FAD,
∵∠BAD+∠FAD=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
(2)解:
可以互换,结论仍然成立.理由如下:
,∠BAD+∠BCD=180°
∴△AFD≌△CED(AAS),
在Rt△BFD和Rt△BED中,
AB=BE﹣AF=BE﹣EC
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